حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \cos (x) + \tan (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\cos (x) + \tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 1.3

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = - \sin (x) + \sec^{2} (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \sin (x) + \sec^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$- \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sec (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sec (x)$ .

$- \cos (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

خطوة 2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \cos (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sec (x)$ .

$- \cos (x) + 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

خطوة 2.3.2

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$- \cos (x) + 2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

خطوة 2.3.3

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$- \cos (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

خطوة 2.3.4

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$- \cos (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

خطوة 2.3.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \cos (x) + 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

خطوة 2.3.6

أضف $1$ و $1$ .

$- \cos (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \cos (x)$

خطوة 2.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) - \cos (x)$

خطوة 2.4.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

خطوة 2.4.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

خطوة 2.4.2.4

اجمع $2$ و $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

خطوة 2.4.2.5

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

خطوة 2.4.2.6

اجمع.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} - \cos (x)$

خطوة 2.4.2.7

اضرب $\cos^{2} (x)$ في $\cos (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.7.1

اضرب $\cos^{2} (x)$ في $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.7.1.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} - \cos (x)$

خطوة 2.4.2.7.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} - \cos (x)$

خطوة 2.4.2.7.2

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} - \cos (x)$

خطوة 2.4.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} - \cos (x)$

خطوة 2.4.3.2

افصِل الكسور.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

خطوة 2.4.3.3

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

خطوة 2.4.3.4

اضرب في $1$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan (x) - \cos (x)$

خطوة 2.4.3.5

افصِل الكسور.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

خطوة 2.4.3.6

حوّل من $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ إلى $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2}{1} \sec^{2} (x) \tan (x) - \cos (x)$

خطوة 2.4.3.7

اقسِم $2$ على $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \cos (x)$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sec^{2} (x)$ و $g (x) = \tan (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 3.2.3

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 3.2.4

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sec (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 3.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 3.2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sec (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 3.2.5

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 3.2.6

اضرب $\sec^{2} (x)$ في $\sec^{2} (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 3.2.6.2

أضف $2$ و $2$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 3.2.7

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 3.2.8

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 3.2.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 3.2.10

أضف $1$ و $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 3.2.11

ارفع $\tan (x)$ إلى القوة $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 3.2.12

ارفع $\tan (x)$ إلى القوة $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 3.2.13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 3.2.14

أضف $1$ و $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 3.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) - - \sin (x)$

خطوة 3.3.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 1 \sin (x)$

خطوة 3.3.4

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \sin (x)$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \sec^{4} (x) + 2 (2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \sin (x)$

خطوة 3.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$2 \sec^{4} (x) + 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sin (x)$

خطوة 3.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

خطوة 3.4.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$4 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

خطوة 3.4.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

خطوة 3.4.4.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

خطوة 3.4.4.4

اجمع $4$ و $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

خطوة 3.4.4.5

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

خطوة 3.4.4.6

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

خطوة 3.4.4.7

اجمع.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

خطوة 3.4.4.8

اضرب $\cos^{2} (x)$ في $\cos^{2} (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.8.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{2 + 2}} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

خطوة 3.4.4.8.2

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

خطوة 3.4.4.9

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} + \sin (x)$

خطوة 3.4.4.10

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

خطوة 3.4.4.11

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

خطوة 3.4.4.12

اجمع $2$ و $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

خطوة 3.4.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

اضرب في $1$ .

$\frac{4 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{4} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

خطوة 3.4.5.2

أخرِج العامل $\cos^{2} (x)$ من $\cos^{4} (x)$ .

$\frac{4 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

خطوة 3.4.5.3

افصِل الكسور.

$\frac{4 \cdot (1)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

خطوة 3.4.5.4

حوّل من $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ إلى $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{4 \cdot (1)}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

خطوة 3.4.5.5

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

خطوة 3.4.5.6

اضرب في $1$ .

$\frac{4}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

خطوة 3.4.5.7

افصِل الكسور.

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

خطوة 3.4.5.8

حوّل من $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ إلى $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{4}{1} \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

خطوة 3.4.5.9

اقسِم $4$ على $1$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

خطوة 3.4.5.10

اضرب في $1$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x) \cdot 1} + \sin (x)$

خطوة 3.4.5.11

افصِل الكسور.

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

خطوة 3.4.5.12

حوّل من $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ إلى $\sec^{4} (x)$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{1} \sec^{4} (x) + \sin (x)$

خطوة 3.4.5.13

اقسِم $2$ على $1$ .

$f''' (x) = 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sec^{2} (x)$ و $g (x) = \tan^{2} (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\tan (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\tan (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.2.4

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.2.5

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\sec (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sec (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.2.6

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.2.7

اضرب $\sec^{2} (x)$ في $\sec^{2} (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

انقُل $\sec^{2} (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.2.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 ({\sec (x)}^{2 + 2} (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.2.7.3

أضف $2$ و $2$ .

$4 (\sec^{4} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.2.8

انقُل $2$ إلى يسار $\sec^{4} (x)$ .

$4 (2 \cdot \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.2.9

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.2.10

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.2.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.2.12

أضف $1$ و $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.2.13

اضرب $\tan^{2} (x)$ في $\tan (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.13.1

انقُل $\tan (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.2.13.2

اضرب $\tan (x)$ في $\tan^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.13.2.1

ارفع $\tan (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.2.13.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 2} (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.2.13.3

أضف $1$ و $2$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.2.14

انقُل $2$ إلى يسار $\tan^{3} (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sec^{4} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = \sec (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $\sec (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ هو $n {u_{3}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $\sec (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.3.3

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.3.4

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.3.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.3.6

أضف $1$ و $3$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{4} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.3.7

اضرب $4$ في $2$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.4

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \cos (x)$

خطوة 4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \cos (x)$

خطوة 4.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

اضرب $2$ في $4$ .

$8 (\sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \cos (x)$

خطوة 4.5.2.2

اضرب $2$ في $4$ .

$8 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 (\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \cos (x)$

خطوة 4.5.2.3

أضف $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ و $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

خطوة 4.5.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.1

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$16 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

خطوة 4.5.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$16 \frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

خطوة 4.5.3.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$16 \frac{1}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

خطوة 4.5.3.4

اجمع $16$ و $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ .

$\frac{16}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

خطوة 4.5.3.5

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{16}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

خطوة 4.5.3.6

اجمع.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{4} (x) \cos (x)} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

خطوة 4.5.3.7

اضرب $\cos^{4} (x)$ في $\cos (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.7.1

اضرب $\cos^{4} (x)$ في $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.7.1.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{4} (x) \cos^{1} (x)} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

خطوة 4.5.3.7.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{16 \sin (x)}{{\cos (x)}^{4 + 1}} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

خطوة 4.5.3.7.2

أضف $4$ و $1$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

خطوة 4.5.3.8

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + 8 {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3} \sec^{2} (x) + \cos (x)$

خطوة 4.5.3.9

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + 8 \frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \sec^{2} (x) + \cos (x)$

خطوة 4.5.3.10

اجمع $8$ و $\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \sec^{2} (x) + \cos (x)$

خطوة 4.5.3.11

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \cos (x)$

خطوة 4.5.3.12

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \cos (x)$

خطوة 4.5.3.13

اجمع.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x) \cdot 1^{2}}{\cos^{3} (x) \cos^{2} (x)} + \cos (x)$

خطوة 4.5.3.14

اضرب $\cos^{3} (x)$ في $\cos^{2} (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.14.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x) \cdot 1^{2}}{{\cos (x)}^{3 + 2}} + \cos (x)$

خطوة 4.5.3.14.2

أضف $3$ و $2$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x) \cdot 1^{2}}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

خطوة 4.5.3.15

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.15.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x) \cdot 1}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

خطوة 4.5.3.15.2

اضرب $8$ في $1$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

خطوة 4.5.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.4.1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{5} (x)$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{4} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

خطوة 4.5.4.2

افصِل الكسور.

$\frac{16}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

خطوة 4.5.4.3

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\frac{16}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

خطوة 4.5.4.4

اضرب في $1$ .

$\frac{16}{\cos^{4} (x) \cdot 1} \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

خطوة 4.5.4.5

افصِل الكسور.

$\frac{16}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

خطوة 4.5.4.6

حوّل من $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ إلى $\sec^{4} (x)$ .

$\frac{16}{1} \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

خطوة 4.5.4.7

اقسِم $16$ على $1$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

خطوة 4.5.4.8

اضرب في $1$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 (\sin^{3} (x) \cdot 1)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

خطوة 4.5.4.9

أخرِج العامل $\cos^{3} (x)$ من $\cos^{5} (x)$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 (\sin^{3} (x) \cdot 1)}{\cos^{3} (x) \cos^{2} (x)} + \cos (x)$

خطوة 4.5.4.10

افصِل الكسور.

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 \cdot (1)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} + \cos (x)$

خطوة 4.5.4.11

حوّل من $\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}$ إلى $\tan^{3} (x)$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 \cdot (1)}{\cos^{2} (x)} \tan^{3} (x) + \cos (x)$

خطوة 4.5.4.12

اضرب $8$ في $1$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8}{\cos^{2} (x)} \tan^{3} (x) + \cos (x)$

خطوة 4.5.4.13

اضرب في $1$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan^{3} (x) + \cos (x)$

خطوة 4.5.4.14

افصِل الكسور.

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan^{3} (x) + \cos (x)$

خطوة 4.5.4.15

حوّل من $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ إلى $\sec^{2} (x)$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8}{1} \sec^{2} (x) \tan^{3} (x) + \cos (x)$

خطوة 4.5.4.16

اقسِم $8$ على $1$ .

$f^{4} (x) = 16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \sec^{2} (x) \tan^{3} (x) + \cos (x)$