حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{\frac{3}{2}}} \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\cos (t)$ موجبة.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t) \cos (t)} \cos (t) d t$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $\cos (t)$ من $\sin^{2} (t) \cos (t)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\cos (t) \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

خطوة 2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\cos (t) \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t$

خطوة 3

حوّل من $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ إلى $\csc^{2} (t)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \csc^{2} (t) d t$

خطوة 4

بما أن مشتق $- \cot (t)$ هو $\csc^{2} (t)$ ، إذن تكامل $\csc^{2} (t)$ هو $- \cot (t)$ .

$- \cot (t)]_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})}$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $- \cot (t)$ في $\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})$ وفي $\frac{π}{6}$ .

$(- \cot (\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2}))) + \cot (\frac{π}{6})$

خطوة 5.2

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ و $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ . إذن، $\cot (\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2}))$ تساوي $\frac{i \sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{i \sqrt{3}}{3} + \cot (\frac{π}{6})$

خطوة 6

القيمة الدقيقة لـ $\cot (\frac{π}{6})$ هي $\sqrt{3}$ .

$- \frac{i \sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}$

خطوة 7