حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{3 + 2 \cos (x)} d x$

خطوة 1

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (x)$ إلى $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{3 + 2 (\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2}))} d x$

خطوة 2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{1}{3 + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + 2 (- \sin^{2} (\frac{x}{2}))} d x$

خطوة 3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\int \frac{1}{3 + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 4

استخدِم متطابقة فيثاغورس لتحويل $3$ إلى $3 \sin^{2} (\frac{x}{2}) + 3 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{3 \sin^{2} (\frac{x}{2}) + 3 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $2 {\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ من $3 {\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{3 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + {\sin (\frac{x}{2})}^{2}} d x$

خطوة 5.2

أضف $3 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ و $2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 6

اضرب المتغير المستقل في $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{(5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 7.2

اضرب ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ في $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{(5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $\sec (\frac{x}{2})$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 8.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 8.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 8.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

أخرِج العامل $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ من $5 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 5 \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 8.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 5 \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 8.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 8.5

أعِد كتابة $\sec (\frac{x}{2})$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

خطوة 8.6

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

خطوة 8.7

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

خطوة 8.8

اجمع $\sin^{2} (\frac{x}{2})$ و $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \frac{\sin^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

خطوة 9

حوّل من $\frac{\sin^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ إلى $\tan^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 10

لنفترض أن $u_{1} = \frac{x}{2}$ . إذن $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ ، لذا $2 d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u_{1} = \frac{x}{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 10.1.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 10.1.4

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} (1 \cdot 2) d u_{1}$

خطوة 11.2

اضرب $2$ في $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} \cdot 2 d u_{1}$

خطوة 11.3

اجمع $\frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})}$ و $2$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1}) \cdot 2}{5 + \tan^{2} (u_{1})} d u_{1}$

خطوة 11.4

انقُل $2$ إلى يسار $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} d u_{1}$

خطوة 12

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} d u_{1}$

خطوة 13

لنفترض أن $u_{2} = \tan (u_{1})$ . إذن $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

افترض أن $u_{2} = \tan (u_{1})$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

أوجِد مشتقة $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

خطوة 13.1.2

مشتق $\tan (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

خطوة 13.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{5 + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 14

أعِد كتابة $5$ بالصيغة ${\sqrt{5}}^{2}$ .

$2 \int \frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 15

تكامل $\frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + {u_{2}}^{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}}) + C$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}}) + C)$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

اجمع $\frac{1}{\sqrt{5}}$ و $\arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}})$ .

$2 (\frac{\arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C)$

خطوة 16.2

أعِد كتابة $2 (\frac{\arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C)$ بالصيغة $2 \frac{\arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$ .

$2 \frac{\arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

خطوة 16.3

اجمع $2$ و $\frac{\arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

خطوة 17

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\tan (u_{1})$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (u_{1}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

خطوة 17.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

خطوة 18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

اضرب $\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} + C$

خطوة 18.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

اضرب $\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} + C$

خطوة 18.2.2

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} + C$

خطوة 18.2.3

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} + C$

خطوة 18.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} + C$

خطوة 18.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} + C$

خطوة 18.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} + C$

خطوة 18.2.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + C$

خطوة 18.2.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + C$

خطوة 18.2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + C$

خطوة 18.2.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{1}} + C$

خطوة 18.2.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5} + C$

خطوة 18.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \arctan (\frac{\sqrt{5}}{5} \tan (\frac{1}{2} x)) + C$