حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- \frac{1}{4}}^{0} e^{5 x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 5 x$ . إذن $d u = 5 d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 5 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$5$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 (- \frac{1}{4})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $5 (- \frac{1}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$u_{lower} = - 5 (\frac{1}{4})$

خطوة 1.3.1.2

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{- 5}{4}$

خطوة 1.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$u_{lower} = - \frac{5}{4}$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 0$

خطوة 1.5

اضرب $5$ في $0$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - \frac{5}{4}$

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{- \frac{5}{4}}^{0} e^{u} \frac{1}{5} d u$

خطوة 2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{5}$ .

$\int_{- \frac{5}{4}}^{0} \frac{e^{u}}{5} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} \int_{- \frac{5}{4}}^{0} e^{u} d u$

خطوة 4

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{5} e^{u}]_{- \frac{5}{4}}^{0}$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $0$ وفي $- \frac{5}{4}$ .

$\frac{1}{5} ((e^{0}) - e^{- \frac{5}{4}})$

خطوة 5.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1}{5} (1 - e^{- \frac{5}{4}})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{1}{5} (- e^{- \frac{5}{4}})$

خطوة 6.2

اضرب $\frac{1}{5}$ في $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{5} (- e^{- \frac{5}{4}})$

خطوة 6.3

اجمع $\frac{1}{5}$ و $e^{- \frac{5}{4}}$ .

$\frac{1}{5} - \frac{e^{- \frac{5}{4}}}{5}$

خطوة 6.4

انقُل $e^{- \frac{5}{4}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5} - \frac{1}{5 e^{\frac{5}{4}}}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{5} - \frac{1}{5 e^{\frac{5}{4}}}$

الصيغة العشرية:

$0.14269904 \dots$

خطوة 8