حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{x} \cdot \ln (\frac{1}{x}) d x$

خطوة 1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $\ln (\frac{1}{x})$ .

$\int \frac{\ln (\frac{1}{x})}{x} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{2} = \ln (\frac{1}{x})$ . إذن $d u_{2} = - \frac{1}{x} d x$ ، لذا $- d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{2} = \ln (\frac{1}{x})$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (\frac{1}{x})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 2.1.2.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 2.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 2.1.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{x}$ .

$1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 2.1.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

اضرب $x$ في $1$ .

$x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 2.1.4.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 2.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$x (- x^{- 2})$

خطوة 2.1.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- (x^{1} x^{- 2})$

خطوة 2.1.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- x^{1 - 2}$

خطوة 2.1.8

اطرح $2$ من $1$ .

$- x^{- 1}$

خطوة 2.1.9

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int - u_{2} d u_{2}$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int u_{2} d u_{2}$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

خطوة 5

أعِد كتابة $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\ln (\frac{1}{x})$ .

$- \frac{1}{2} \ln^{2} (\frac{1}{x}) + C$