حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

خطوة 1

قسّم الكسر $\frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan (x)}$ إلى كسرين.

$\int \frac{1}{\tan (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

خطوة 2.2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\int \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

خطوة 2.3

حوّل من $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ إلى $\cot (x)$ .

$\int \cot (x) + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

خطوة 2.4

احذِف العامل المشترك لـ $\tan^{2} (x)$ و $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أخرِج العامل $\tan (x)$ من $\tan^{2} (x)$ .

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x)} d x$

خطوة 2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اضرب في $1$ .

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x) \cdot 1} d x$

خطوة 2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x) \cdot 1} d x$

خطوة 2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x)}{1} d x$

خطوة 2.4.2.4

اقسِم $\tan (x)$ على $1$ .

$\int \cot (x) + \tan (x) d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \cot (x) d x + \int \tan (x) d x$

خطوة 4

تكامل $\cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |) + C + \int \tan (x) d x$

خطوة 5

تكامل $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |) + C + \ln (| \sec (x) |) + C$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط.

$\ln (| \sin (x) |) + \ln (| \sec (x) |) + C$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \sin (x) | | \sec (x) |) + C$

خطوة 6.2.2

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (| \sin (x) \sec (x) |) + C$