حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{x^{3} + x^{2} - 2 x} d x$

خطوة 1

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

حلّل الكسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3} + x^{2} - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x^{2} - 2 x}$

خطوة 1.1.1.1.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 2 x}$

خطوة 1.1.1.1.3

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 2}$

خطوة 1.1.1.1.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x^{2} + x \cdot x$ .

$\frac{1}{x (x^{2} + x) + x \cdot - 2}$

خطوة 1.1.1.1.5

أخرِج العامل $x$ من $x (x^{2} + x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{1}{x (x^{2} + x - 2)}$

خطوة 1.1.1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

حلّل $x^{2} + x - 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 2$ ومجموعهما $1$ .

$- 1, 2$

خطوة 1.1.1.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{1}{x ((x - 1) (x + 2))}$

خطوة 1.1.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{1}{x (x - 1) (x + 2)}$

خطوة 1.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$

خطوة 1.1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $C$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 2}$

خطوة 1.1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $x (x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{1 (x (x - 1) (x + 2))}{x (x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x (x - 1) (x + 2))}{x (x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 ((x - 1) (x + 2))}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 ((x - 1) (x + 2))}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.8.1.2

اقسِم $A ((x - 1) (x + 2))$ على $1$ .

$1 = A ((x - 1) (x + 2)) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.8.2

وسّع $(x - 1) (x + 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A (x (x + 2) - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.8.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.8.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.8.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$1 = A (x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.8.3.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$1 = A (x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.8.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$1 = A (x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.8.3.1.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$1 = A (x^{2} + 2 x - x - 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.8.3.2

اطرح $x$ من $2 x$ .

$1 = A (x^{2} + x - 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.8.4

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x^{2} + A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.8.5

انقُل $- 2$ إلى يسار $A$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.8.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + \frac{B (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.8.6.2

اقسِم $(B) (x (x + 2))$ على $1$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + (B) (x (x + 2)) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.8.7

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B (x \cdot x + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.8.8

اضرب $x$ في $x$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B (x^{2} + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.8.9

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B (x^{2} + 2 \cdot x) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.8.10

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + B (2 x) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.8.11

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.8.12

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.12.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{C (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

خطوة 1.1.8.12.2

اقسِم $(C) (x (x - 1))$ على $1$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + (C) (x (x - 1))$

خطوة 1.1.8.13

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x \cdot x + x \cdot - 1)$

خطوة 1.1.8.14

اضرب $x$ في $x$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} + x \cdot - 1)$

خطوة 1.1.8.15

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} - 1 \cdot x)$

خطوة 1.1.8.16

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} - x)$

خطوة 1.1.8.17

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} + C (- x)$

خطوة 1.1.8.18

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} - C x$

خطوة 1.1.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.9.1

أعِد ترتيب $B$ و $x^{2}$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} - C x$

خطوة 1.1.9.2

انقُل $B$ .

$1 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 x B + C x^{2} - C x$

خطوة 1.1.9.3

انقُل $- 2 A$ .

$1 = A x^{2} + A x + B x^{2} + 2 x B + C x^{2} - C x - 2 A$

خطوة 1.1.9.4

انقُل $2 x B$ .

$1 = A x^{2} + A x + B x^{2} + C x^{2} + 2 x B - C x - 2 A$

خطوة 1.1.9.5

انقُل $A x$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} + A x + 2 x B - C x - 2 A$

خطوة 1.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x^{2}$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A + B + C$

خطوة 1.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A + 2 B - 1 C$

خطوة 1.2.3

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = - 2 A$

خطوة 1.2.4

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

$1 = - 2 A$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

$1 = - 2 A$

خطوة 1.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد قيمة $A$ في $1 = - 2 A$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 2 A = 1$ .

$- 2 A = 1$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

خطوة 1.3.1.2

اقسِم كل حد في $- 2 A = 1$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.2.1

اقسِم كل حد في $- 2 A = 1$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

خطوة 1.3.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

خطوة 1.3.1.2.2.1.2

اقسِم $A$ على $1$ .

$A = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{1}{- 2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

خطوة 1.3.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + B + C$

$0 = A + 2 B - 1 C$

خطوة 1.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $- \frac{1}{2}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $0 = A + B + C$ بـ $- \frac{1}{2}$ .

$0 = (- \frac{1}{2}) + B + C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + 2 B - 1 C$

خطوة 1.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

احذِف الأقواس.

$0 = - \frac{1}{2} + B + C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + 2 B - 1 C$

$0 = - \frac{1}{2} + B + C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = A + 2 B - 1 C$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $0 = A + 2 B - 1 C$ بـ $- \frac{1}{2}$ .

$0 = (- \frac{1}{2}) + 2 B - 1 C$

$0 = - \frac{1}{2} + B + C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.4.1

أعِد كتابة $- 1 C$ بالصيغة $- C$ .

$0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$

$0 = - \frac{1}{2} + B + C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$

$0 = - \frac{1}{2} + B + C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$

$0 = - \frac{1}{2} + B + C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $0 = - \frac{1}{2} + B + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \frac{1}{2} + B + C = 0$ .

$- \frac{1}{2} + B + C = 0$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $B$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1

أضف $\frac{1}{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$B + C = \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.3.2.2

اطرح $C$ من كلا المتعادلين.

$B = \frac{1}{2} - C$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $\frac{1}{2} - C$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $0 = - \frac{1}{2} + 2 B - C$ بـ $\frac{1}{2} - C$ .

$0 = - \frac{1}{2} + 2 (\frac{1}{2} - C) - C$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.2.1

بسّط $- \frac{1}{2} + 2 (\frac{1}{2} - C) - C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.2.1.1

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.2.1.1.1

اكتب $2 (\frac{1}{2} - C)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$0 = - \frac{1}{2} + \frac{2 (\frac{1}{2} - C)}{1} - C$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.4.2.1.1.2

اضرب $\frac{2 (\frac{1}{2} - C)}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$0 = - \frac{1}{2} + \frac{2 (\frac{1}{2} - C)}{1} \cdot \frac{2}{2} - C$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.4.2.1.1.3

اضرب $\frac{2 (\frac{1}{2} - C)}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$0 = - \frac{1}{2} + \frac{2 (\frac{1}{2} - C) \cdot 2}{2} - C$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.4.2.1.1.4

اكتب $- C$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$0 = - \frac{1}{2} + \frac{2 (\frac{1}{2} - C) \cdot 2}{2} + \frac{- C}{1}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.4.2.1.1.5

اضرب $\frac{- C}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$0 = - \frac{1}{2} + \frac{2 (\frac{1}{2} - C) \cdot 2}{2} + \frac{- C}{1} \cdot \frac{2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.4.2.1.1.6

اضرب $\frac{- C}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$0 = - \frac{1}{2} + \frac{2 (\frac{1}{2} - C) \cdot 2}{2} + \frac{- C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + \frac{2 (\frac{1}{2} - C) \cdot 2}{2} + \frac{- C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.4.2.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$0 = \frac{- 1 + 2 (\frac{1}{2} - C) \cdot 2 - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.4.2.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.2.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$0 = \frac{- 1 + (2 (\frac{1}{2}) + 2 (- C)) \cdot 2 - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.4.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$0 = \frac{- 1 + (2 (\frac{1}{2}) + 2 (- C)) \cdot 2 - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.4.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$0 = \frac{- 1 + (1 + 2 (- C)) \cdot 2 - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = \frac{- 1 + (1 + 2 (- C)) \cdot 2 - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.4.2.1.3.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$0 = \frac{- 1 + (1 - 2 C) \cdot 2 - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.4.2.1.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$0 = \frac{- 1 + 1 \cdot 2 - 2 C \cdot 2 - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.4.2.1.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$0 = \frac{- 1 + 2 - 2 C \cdot 2 - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.4.2.1.3.6

اضرب $2$ في $- 2$ .

$0 = \frac{- 1 + 2 - 4 C - C \cdot 2}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.4.2.1.3.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$0 = \frac{- 1 + 2 - 4 C - 2 C}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = \frac{- 1 + 2 - 4 C - 2 C}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.4.2.1.4

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.2.1.4.1

أضف $- 1$ و $2$ .

$0 = \frac{1 - 4 C - 2 C}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.4.2.1.4.2

اطرح $2 C$ من $- 4 C$ .

$0 = \frac{1 - 6 C}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = \frac{1 - 6 C}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = \frac{1 - 6 C}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = \frac{1 - 6 C}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$0 = \frac{1 - 6 C}{2}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.5

أوجِد قيمة $C$ في $0 = \frac{1 - 6 C}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$1 - 6 C = 0$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.5.2

أوجِد قيمة $C$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 6 C = - 1$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.5.2.2

اقسِم كل حد في $- 6 C = - 1$ على $- 6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $- 6 C = - 1$ على $- 6$ .

$\frac{- 6 C}{- 6} = \frac{- 1}{- 6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 6 C}{- 6} = \frac{- 1}{- 6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.5.2.2.2.1.2

اقسِم $C$ على $1$ .

$C = \frac{- 1}{- 6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$C = \frac{- 1}{- 6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$C = \frac{- 1}{- 6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.2.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$C = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{2} - C$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ بـ $\frac{1}{6}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ في $B = \frac{1}{2} - C$ بـ $\frac{1}{6}$ .

$B = \frac{1}{2} - (\frac{1}{6})$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.6.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.2.1

بسّط $\frac{1}{2} - (\frac{1}{6})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.2.1.1

لكتابة $\frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$B = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{6}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.6.2.1.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.2.1.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$B = \frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.6.2.1.2.2

اضرب $2$ في $3$ .

$B = \frac{3}{6} - \frac{1}{6}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{6} - \frac{1}{6}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.6.2.1.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.2.1.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$B = \frac{3 - 1}{6}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.6.2.1.3.2

اطرح $1$ من $3$ .

$B = \frac{2}{6}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{2}{6}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.6.2.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$B = \frac{2 (1)}{6}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.6.2.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.2.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$B = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.6.2.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$B = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.6.2.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$B = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.7

اسرِد جميع الحلول.

$B = \frac{1}{3}, C = \frac{1}{6}, A = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 2}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ و $C$ .

$- \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{\frac{1}{6}}{x + 2}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{\frac{1}{6}}{x + 2}$

خطوة 1.5.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{x \cdot 2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{\frac{1}{6}}{x + 2}$

خطوة 1.5.3

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$- \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{\frac{1}{6}}{x + 2}$

خطوة 1.5.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{1}{2 x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{\frac{1}{6}}{x + 2}$

خطوة 1.5.5

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{x - 1}$ .

$- \frac{1}{2 x} + \frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{\frac{1}{6}}{x + 2}$

خطوة 1.5.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{1}{2 x} + \frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x + 2}$

خطوة 1.5.7

اضرب $\frac{1}{6}$ في $\frac{1}{x + 2}$ .

$\int - \frac{1}{2 x} + \frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{1}{6 (x + 2)} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - \frac{1}{2 x} d x + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{2 x} d x + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x$

خطوة 7

لنفترض أن $u_{1} = x - 1$ . إذن $d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u_{1} = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 7.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 7.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} \int \frac{1}{x + 2} d x$

خطوة 10

لنفترض أن $u_{2} = x + 2$ . إذن $d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u_{2} = x + 2$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

خطوة 10.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 10.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 10.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 11

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C)$

خطوة 12

بسّط.

$- \frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 13

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x - 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) + \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 13.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x + 2$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) + \frac{1}{6} \ln (| x + 2 |) + C$