حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{t^{3} \sqrt{t^{2} - 9}} d t$

خطوة 1

لنفترض أن $t = 3 \sec (t_{1})$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d t = 3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1}) d t_{1}$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ موجبة.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(3 \sec (t_{1}))}^{2} - 9}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{{(3 \sec (t_{1}))}^{2} - 9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 \sec (t_{1})$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{3^{2} \sec^{2} (t_{1}) - 9}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

خطوة 2.1.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 \sec^{2} (t_{1}) - 9}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $9$ من $9 \sec^{2} (t_{1})$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 (\sec^{2} (t_{1})) - 9}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $9$ من $- 9$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 \sec^{2} (t_{1}) + 9 \cdot - 1}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $9$ من $9 \sec^{2} (t_{1}) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 (\sec^{2} (t_{1}) - 1)}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

خطوة 2.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 \tan^{2} (t_{1})}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

خطوة 2.1.6

أعِد كتابة $9 \tan^{2} (t_{1})$ بالصيغة ${(3 \tan (t_{1}))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(3 \tan (t_{1}))}^{2}}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

خطوة 2.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} (3 \tan (t_{1}))} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

خطوة 2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3 \tan (t_{1})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $3 \tan (t_{1})$ من ${(3 \sec (t_{1}))}^{3} (3 \tan (t_{1}))$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t_{1}) ({(3 \sec (t_{1}))}^{3})} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $3 \tan (t_{1})$ من $3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t_{1}) ({(3 \sec (t_{1}))}^{3})} (3 \tan (t_{1}) (\sec (t_{1}))) d t_{1}$

خطوة 2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{3 \tan (t_{1}) {(3 \sec (t_{1}))}^{3}} (3 \tan (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

خطوة 2.2.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

خطوة 2.2.2

اجمع $\frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3}}$ و $\sec (t_{1})$ .

$\int \frac{\sec (t_{1})}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3}} d t_{1}$

خطوة 2.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أخرِج العامل $3$ من $3 \sec (t_{1})$ .

$\int \frac{\sec (t_{1})}{{(3 (\sec (t_{1})))}^{3}} d t_{1}$

خطوة 2.2.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $3 (\sec (t_{1}))$ .

$\int \frac{\sec (t_{1})}{3^{3} \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

خطوة 2.2.3.3

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\int \frac{\sec (t_{1})}{27 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

خطوة 2.2.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $\sec (t_{1})$ و $\sec^{3} (t_{1})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.4.1

اضرب في $1$ .

$\int \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{27 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

خطوة 2.2.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.4.2.1

أخرِج العامل $\sec (t_{1})$ من $27 \sec^{3} (t_{1})$ .

$\int \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (27 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

خطوة 2.2.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (27 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

خطوة 2.2.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{27 \sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{27}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{27}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{27} \int \frac{1}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})}$ بالصيغة ${(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2}$ .

$\frac{1}{27} \int {(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2} d t_{1}$

خطوة 4.3

أعِد كتابة $\sec (t_{1})$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{1}{27} \int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (t_{1})}})}^{2} d t_{1}$

خطوة 4.4

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\cos (t_{1})}$ .

$\frac{1}{27} \int {(1 \cos (t_{1}))}^{2} d t_{1}$

خطوة 4.5

اضرب $\cos (t_{1})$ في $1$ .

$\frac{1}{27} \int \cos^{2} (t_{1}) d t_{1}$

خطوة 5

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (t_{1})$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2} d t_{1}$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{27} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{27}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 27} \int 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

خطوة 7.2

اضرب $2$ في $27$ .

$\frac{1}{54} \int 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

خطوة 8

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{54} (\int d t_{1} + \int \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

خطوة 9

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \int \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

خطوة 10

لنفترض أن $u = 2 t_{1}$ . إذن $d u = 2 d t_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u = 2 t_{1}$ . أوجِد $\frac{d u}{d t_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $2 t_{1}$ .

$\frac{d}{d t_{1}} [2 t_{1}]$

خطوة 10.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t_{1}$ ، إذن مشتق $2 t_{1}$ بالنسبة إلى $t_{1}$ يساوي $2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t_{1}} [{t_{1}}^{n}]$ هو $n {t_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 10.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 11

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 12

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

خطوة 13

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

خطوة 14

بسّط.

$\frac{1}{54} (t_{1} + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 15

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل كافة حالات حدوث $t_{1}$ بـ $arcsec (\frac{t}{3})$ .

$\frac{1}{54} (arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 15.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t_{1}$ .

$\frac{1}{54} (arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t_{1})) + C$

خطوة 15.3

استبدِل كافة حالات حدوث $t_{1}$ بـ $arcsec (\frac{t}{3})$ .

$\frac{1}{54} (arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))) + C$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))$ .

$\frac{1}{54} (arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2}) + C$

خطوة 16.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{54} arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{1}{54} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2} + C$

خطوة 16.3

اجمع $\frac{1}{54}$ و $arcsec (\frac{t}{3})$ .

$\frac{arcsec (\frac{t}{3})}{54} + \frac{1}{54} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2} + C$

خطوة 16.4

اضرب $\frac{1}{54} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.4.1

اضرب $\frac{1}{54}$ في $\frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2}$ .

$\frac{arcsec (\frac{t}{3})}{54} + \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{54 \cdot 2} + C$

خطوة 16.4.2

اضرب $54$ في $2$ .

$\frac{arcsec (\frac{t}{3})}{54} + \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{108} + C$

خطوة 17

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{54} arcsec (\frac{1}{3} t) + \frac{1}{108} \sin (2 arcsec (\frac{1}{3} t)) + C$