حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 x^{2}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2}$ موجبة.

$\int \frac{1}{\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{1} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.2

اجمع $\frac{\sqrt{3}}{2}$ و $\sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 {(\frac{\sqrt{3} \sin (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.3

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{3} \sin (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{{(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $\sqrt{3} \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{{\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.4

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{1} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3 \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.6.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 + 4 (- 1) \frac{3 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 + 4 \cdot - 1 \frac{3 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 (3 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.7

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1) - 3 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $3$ من $- 3 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $3$ من $3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.6

أعِد ترتيب $3$ و $\cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\int \frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب $\frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{\cos (t) \sqrt{3} \cdot 2} d t$

خطوة 2.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (t) \sqrt{3}$ .

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2 \cdot (\cos (t) \sqrt{3})} d t$

خطوة 2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2 \cos (t) \sqrt{3}} d t$

خطوة 2.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{\cos (t)}{2 \cos (t)} d t$

خطوة 2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{\cos (t)}{2 \cos (t)} d t$

خطوة 2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{2} d t$

خطوة 3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} t + C$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{2 x}{\sqrt{3}})$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (\frac{2 x}{\sqrt{3}}) + C$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} \arcsin (\frac{2}{\sqrt{3}} x) + C$