حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

خطوة 1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $x = 2 \sec (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $2 \sec (t) \tan (t)$ موجبة.

$\int \frac{1}{\sqrt{{({(2 \sec (t))}^{2} - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط $\sqrt{{({(2 \sec (t))}^{2} - 4)}^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2^{2} \sec^{2} (t) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.1.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \sec^{2} (t) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $4$ من $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 (\sec^{2} (t)) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.1.4

أخرِج العامل $4$ من $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 (\sec^{2} (t) - 1))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.1.6

طبّق قاعدة الضرب على $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4^{3} {(\tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.1.7

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{64 {(\tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.1.8

اضرب الأُسس في ${(\tan^{2} (t))}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.8.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{64 {\tan (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.1.8.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{64 \tan^{6} (t)}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.1.9

أعِد كتابة $64 \tan^{6} (t)$ بالصيغة ${(8 \tan^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(8 \tan^{3} (t))}^{2}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.1.10

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{1}{8 \tan^{3} (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 \tan (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أخرِج العامل $2 \tan (t)$ من $8 \tan^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.2.1.2

أخرِج العامل $2 \tan (t)$ من $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \tan (t) (\sec (t))) d t$

خطوة 3.2.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \tan (t) \sec (t)) d t$

خطوة 3.2.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{4 \tan^{2} (t)} \sec (t) d t$

خطوة 3.2.2

اجمع $\frac{1}{4 \tan^{2} (t)}$ و $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{4 \tan^{2} (t)} d t$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $\sec (x)$ بالصيغة $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

خطوة 5.2

طبّق متطابقة المقلوب.

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

خطوة 5.3.2

اجمع.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

خطوة 5.3.3

اضرب $\csc (t)$ في $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

خطوة 5.3.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

خطوة 5.3.4.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

خطوة 5.3.5

اجمع $\cot (t)$ و $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

خطوة 5.3.6

اختزِل العبارة $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.1

اضرب في $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

خطوة 5.3.6.2

أخرِج العامل $\cot (t)$ من ${\cot (t)}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

خطوة 5.3.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

خطوة 5.3.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

خطوة 5.3.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

خطوة 6

بما أن مشتق $- \csc (t)$ هو $\csc (t) \cot (t)$ ، إذن تكامل $\csc (t) \cot (t)$ هو $- \csc (t)$ .

$\frac{1}{4} (- \csc (t) + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط.

$\frac{1}{4} (- \csc (t)) + C$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\csc (t)$ .

$- \frac{\csc (t)}{4} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $arcsec (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\csc (arcsec (\frac{x}{2}))}{4} + C$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ و $(1, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $arcsec (\frac{x}{2})$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ . إذن، $\csc (arcsec (\frac{x}{2}))$ تساوي $\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ .

$- \frac{\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

خطوة 9.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

خطوة 9.1.3

اجمع.

$- \frac{\frac{x \cdot 1}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

خطوة 9.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

خطوة 9.1.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.5.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}}}{4} + C$

خطوة 9.1.5.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = \frac{x}{2}$ و $b = 1$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

خطوة 9.1.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.5.3.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

خطوة 9.1.5.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

خطوة 9.1.5.3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}}}{4} + C$

خطوة 9.1.5.3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}}}{4} + C$

خطوة 9.1.5.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}}}{4} + C$

خطوة 9.1.5.3.6

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}}}{4} + C$

خطوة 9.1.5.4

اضرب $\frac{x + 2}{2}$ في $\frac{x - 2}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}}}{4} + C$

خطوة 9.1.5.5

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}}}{4} + C$

خطوة 9.1.5.6

أعِد كتابة $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.5.6.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $(x + 2) (x - 2)$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}}}{4} + C$

خطوة 9.1.5.6.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}}}{4} + C$

خطوة 9.1.5.6.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}}}{4} + C$

خطوة 9.1.5.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$- \frac{\frac{x}{2 (\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)})}}{4} + C$

خطوة 9.1.5.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

خطوة 9.1.6

اجمع $2$ و $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

خطوة 9.1.7

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.7.1

اختزِل العبارة $\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

خطوة 9.1.7.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{\frac{x}{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{1}}}{4} + C$

خطوة 9.1.7.2

اقسِم $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ على $1$ .

$- \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

خطوة 9.1.8

اضرب $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ في $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$- \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

خطوة 9.1.9

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.9.1

اضرب $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ في $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

خطوة 9.1.9.2

ارفع $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

خطوة 9.1.9.3

ارفع $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} {\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1}}}{4} + C$

خطوة 9.1.9.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}}}{4} + C$

خطوة 9.1.9.5

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}}}{4} + C$

خطوة 9.1.9.6

أعِد كتابة ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ بالصيغة $(x + 2) (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.9.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ في صورة ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{4} + C$

خطوة 9.1.9.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{4} + C$

خطوة 9.1.9.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{4} + C$

خطوة 9.1.9.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.9.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{4} + C$

خطوة 9.1.9.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{1}}}{4} + C$

خطوة 9.1.9.6.5

بسّط.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}{4} + C$

خطوة 9.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{4}) + C$

خطوة 9.3

اضرب $\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ في $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2) \cdot 4} + C$

خطوة 9.4

انقُل $4$ إلى يسار $(x + 2) (x - 2)$ .

$- \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4 (x + 2) (x - 2)} + C$