حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

خطوة 1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 1)}^{3}}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $x = \sec (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\sec (t) \tan (t)$ موجبة.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط $\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t))}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.1.2

اضرب الأُسس في ${(\tan^{2} (t))}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{\tan (t)}^{2 \cdot 3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.1.2.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{6} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة $\tan^{6} (t)$ بالصيغة ${(\tan^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{3} (t))}^{2}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.1.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{1}{\tan^{3} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\tan (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أخرِج العامل $\tan (t)$ من $\tan^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.2.1.2

أخرِج العامل $\tan (t)$ من $\sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

خطوة 3.2.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

خطوة 3.2.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{\tan^{2} (t)} \sec (t) d t$

خطوة 3.2.2

اجمع $\frac{1}{\tan^{2} (t)}$ و $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $\sec (x)$ بالصيغة $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

خطوة 4.2

طبّق متطابقة المقلوب.

$\int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

خطوة 4.3.2

اجمع.

$\int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

خطوة 4.3.3

اضرب $\csc (t)$ في $1$ .

$\int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

خطوة 4.3.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

خطوة 4.3.4.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

خطوة 4.3.5

اجمع $\cot (t)$ و $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

خطوة 4.3.6

اختزِل العبارة $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.1

اضرب في $1$ .

$\int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

خطوة 4.3.6.2

أخرِج العامل $\cot (t)$ من ${\cot (t)}^{2}$ .

$\int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

خطوة 4.3.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

خطوة 4.3.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

خطوة 4.3.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\int \csc (t) \cot (t) d t$

خطوة 5

بما أن مشتق $- \csc (t)$ هو $\csc (t) \cot (t)$ ، إذن تكامل $\csc (t) \cot (t)$ هو $- \csc (t)$ .

$- \csc (t) + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $arcsec (x)$ .

$- \csc (arcsec (x)) + C$