حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{5} + 2 x^{2} - 1}{x^{4}} d x$

خطوة 1

انقُل $x^{4}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (x^{5} + 2 x^{2} - 1) {(x^{4})}^{- 1} d x$

خطوة 2

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{5} + 2 x^{2} - 1) x^{4 \cdot - 1} d x$

خطوة 2.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\int (x^{5} + 2 x^{2} - 1) x^{- 4} d x$

خطوة 3

وسّع $(x^{5} + 2 x^{2} - 1) x^{- 4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (x^{5} + 2 x^{2}) x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int x^{5} x^{- 4} + 2 x^{2} x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

خطوة 3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{5 - 4} + 2 x^{2} x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

خطوة 3.4

اطرح $4$ من $5$ .

$\int x^{1} + 2 x^{2} x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

خطوة 3.5

بسّط.

$\int x + 2 x^{2} x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

خطوة 3.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x + 2 x^{2 - 4} - 1 x^{- 4} d x$

خطوة 3.7

اطرح $4$ من $2$ .

$\int x + 2 x^{- 2} - 1 x^{- 4} d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x d x + \int 2 x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 4} d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int 2 x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 4} d x$

خطوة 6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 \int x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 4} d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) + \int - 1 x^{- 4} d x$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) - \int x^{- 4} d x$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اجمع $x^{- 3}$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

خطوة 10.1.2

انقُل $x^{- 3}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

خطوة 10.2

بسّط.

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{x} - - \frac{1}{3 x^{3}} + C$

خطوة 10.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{x} + 1 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

خطوة 10.3.2

اضرب $\frac{1}{3 x^{3}}$ في $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{x} + \frac{1}{3 x^{3}} + C$

خطوة 10.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{2}{x} + \frac{1}{3 x^{3}} + C$