حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{3} - x + 3}{x^{2} + x - 2} d x$

خطوة 1

اقسِم $x^{3} - x + 3$ على $x^{2} + x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

خطوة 1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

خطوة 1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

خطوة 1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} + x^{2} - 2 x$

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

خطوة 1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

خطوة 1.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

خطوة 1.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

خطوة 1.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{2}$

$x$

$2$

خطوة 1.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- x^{2} - x + 2$

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{2}$

$x$

$2$

خطوة 1.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{2}$

$x$

$2$

$2 x$

$1$

خطوة 1.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int x - 1 + \frac{2 x + 1}{x^{2} + x - 2} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x - 2} d x$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x - 2} d x$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x - 2} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = x^{2} + x - 2$ . إذن $d u = (2 x + 1) d x$ ، لذا $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = x^{2} + x - 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 5.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 5.1.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 1 + 0$

خطوة 5.1.6

أضف $2 x + 1$ و $0$ .

$2 x + 1$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u |) + C$

خطوة 7

بسّط.

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |) + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + x - 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x^{2} + x - 2 |) + C$