حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = 3 \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 3 \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $3 \cos (t)$ موجبة.

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.1.3

اضرب $9$ في $- 1$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $9$ من $9$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $9$ من $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $9$ من $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.6

أعِد كتابة $9 \cos^{2} (t)$ بالصيغة ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 2.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3 \cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int {(3 \sin (t))}^{3} d t$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 \sin (t)$ .

$\int {(3 (\sin (t)))}^{3} d t$

خطوة 2.2.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $3 (\sin (t))$ .

$\int 3^{3} \sin^{3} (t) d t$

خطوة 2.2.2.3

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\int 27 \sin^{3} (t) d t$

خطوة 3

بما أن $27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $27$ خارج التكامل.

$27 \int \sin^{3} (t) d t$

خطوة 4

أخرِج عامل $\sin^{2} (t)$ .

$27 \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

خطوة 5

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sin^{2} (t)$ بحيث تصبح $1 - \cos^{2} (t)$ .

$27 \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

خطوة 6

لنفترض أن $u = \cos (t)$ . إذن $d u = - \sin (t) d t$ ، لذا $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = \cos (t)$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

خطوة 6.1.2

مشتق $\cos (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$27 \int - 1 + u^{2} d u$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$27 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$27 (- u + C + \int u^{2} d u)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$27 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$27 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

خطوة 10.2

بسّط.

$27 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

خطوة 11

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (t)$ .

$27 (- \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t)) + C$

خطوة 11.2

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$27 (- \cos (\arcsin (\frac{x}{3})) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ و $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arcsin (\frac{x}{3})$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ . إذن، $\cos (\arcsin (\frac{x}{3}))$ تساوي $\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}$ .

$27 (- \sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

خطوة 12.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$27 (- \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

خطوة 12.1.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = \frac{x}{3}$ .

$27 (- \sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

خطوة 12.1.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$27 (- \sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

خطوة 12.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$27 (- \sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

خطوة 12.1.6

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$27 (- \sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

خطوة 12.1.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$27 (- \sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

خطوة 12.1.8

اضرب $\frac{3 + x}{3}$ في $\frac{3 - x}{3}$ .

$27 (- \sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

خطوة 12.1.9

اضرب $3$ في $3$ .

$27 (- \sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

خطوة 12.1.10

أعِد كتابة $\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ بالصيغة ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.10.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $(3 + x) (3 - x)$ .

$27 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

خطوة 12.1.10.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $3^{2}$ من $9$ .

$27 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

خطوة 12.1.10.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$27 (- \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

خطوة 12.1.11

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$27 (- (\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

خطوة 12.1.12

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$27 (- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

خطوة 12.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))$ .

$27 (- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3}) + C$

خطوة 12.3

طبّق خاصية التوزيع.

$27 (- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}) + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

خطوة 12.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$ إلى بسط الكسر.

$27 \frac{- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

خطوة 12.4.2

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$3 (9) \frac{- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

خطوة 12.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$3 \cdot 9 \frac{- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

خطوة 12.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$9 (- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}) + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

خطوة 12.5

اضرب $- 1$ في $9$ .

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

خطوة 12.6

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.6.1

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 3 (9) \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

خطوة 12.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 3 \cdot 9 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

خطوة 12.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 9 \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3})) + C$

خطوة 13

أعِد ترتيب الحدود.

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 9 \cos^{3} (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$