حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{6 x^{2} - 16 x + 2}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6} d x$

خطوة 1

أخرِج العامل $2$ من $6 x^{2} - 16 x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x^{2}$ .

$\int \frac{2 (3 x^{2}) - 16 x + 2}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6} d x$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 16 x$ .

$\int \frac{2 (3 x^{2}) + 2 (- 8 x) + 2}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6} d x$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\int \frac{2 (3 x^{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (1)}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6} d x$

خطوة 1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (3 x^{2}) + 2 (- 8 x)$ .

$\int \frac{2 (3 x^{2} - 8 x) + 2 (1)}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6} d x$

خطوة 1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (3 x^{2} - 8 x) + 2 (1)$ .

$\int \frac{2 (3 x^{2} - 8 x + 1)}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6} d x$

خطوة 2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{3 x^{2} - 8 x + 1}{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ . إذن $d u = (3 x^{2} - 8 x + 1) d x$ ، لذا $\frac{1}{3 x^{2} - 8 x + 1} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x^{2} + x + 6]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 3.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 3.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 3.1.3.3

اضرب $2$ في $- 4$ .

$3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 3.1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 x^{2} - 8 x + 1 + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 3.1.4.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 x^{2} - 8 x + 1 + 0$

خطوة 3.1.4.3

أضف $3 x^{2} - 8 x + 1$ و $0$ .

$3 x^{2} - 8 x + 1$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C)$

خطوة 5

بسّط.

$2 \ln (| u |) + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ .

$2 \ln (| x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 |) + C$