حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{6}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \sqrt{x} - 6 e^{- 2 x} + 9 d x$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{6}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

خطوة 2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

خطوة 3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

خطوة 4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

خطوة 5.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

خطوة 5.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{- 2} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

خطوة 7

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

خطوة 9

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 6$ خارج التكامل.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 \int e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

خطوة 10

لنفترض أن $u = - 2 x$ . إذن $d u = - 2 d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u = - 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 10.1.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

خطوة 10.1.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u + \int 9 d x$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int 9 d x$

خطوة 11.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 \int - \frac{e^{u}}{2} d u + \int 9 d x$

خطوة 12

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 (- \int \frac{e^{u}}{2} d u) + \int 9 d x$

خطوة 13

اضرب $- 1$ في $- 6$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 6 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 9 d x$

خطوة 14

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 6 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 9 d x$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{6}{2} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

خطوة 15.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

خطوة 15.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

خطوة 15.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

خطوة 15.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{3}{1} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

خطوة 15.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 3 \int e^{u} d u + \int 9 d x$

خطوة 16

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 3 (e^{u} + C) + \int 9 d x$

خطوة 17

طبّق قاعدة الثابت.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 3 (e^{u} + C) + 9 x + C$

خطوة 18

بسّط.

$6 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 e^{u} + 9 x + C$

خطوة 19

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 2 x$ .

$6 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 e^{- 2 x} + 9 x + C$

خطوة 20

أعِد ترتيب الحدود.

$6 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{- 2 x} + 9 x + C$