حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{2 x - 1}{x (x - 1)} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x (x - 1)$ . إذن $d u = (2 x - 1) d x$ ، لذا $\frac{1}{2 x - 1} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x (x - 1)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [x (x - 1)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x - 1$ .

$x \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$x \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.4.2

اضرب $x$ في $1$ .

$x + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x + (x - 1) \cdot 1$

خطوة 1.1.3.6

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.6.1

اضرب $x - 1$ في $1$ .

$x + x - 1$

خطوة 1.1.3.6.2

أضف $x$ و $x$ .

$2 x - 1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

خطوة 3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x (x - 1)$ .

$\ln (| x (x - 1) |) + C$