حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sin (2 x) - \cos (x) d x$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sin (2 x) d x + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 2.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{6}$

خطوة 2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

خطوة 2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = \frac{π}{3}$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

خطوة 2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

خطوة 2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = π$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = \frac{π}{3}$

$u_{upper} = π$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{\frac{π}{3}}^{π} \sin (u) \frac{1}{2} d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

خطوة 3

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{π} \frac{\sin (u)}{2} d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{3}}^{π} \sin (u) d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

خطوة 5

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{\frac{π}{3}}^{π} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{\frac{π}{3}}^{π} - \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

خطوة 7

تكامل $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{\frac{π}{3}}^{π} - (\sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $- \cos (u)$ في $π$ وفي $\frac{π}{3}$ .

$\frac{1}{2} ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{3})) - (\sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

خطوة 8.2

احسِب قيمة $\sin (x)$ في $\frac{π}{2}$ وفي $\frac{π}{6}$ .

$\frac{1}{2} ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{3})) - ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (\frac{π}{6}))$

خطوة 8.3

احذِف الأقواس.

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{3})) - (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (\frac{π}{6}))$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (\frac{π}{6}))$

خطوة 9.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - (1 - \sin (\frac{π}{6}))$

خطوة 9.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{6})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - (1 - \frac{1}{2})$

خطوة 9.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

خطوة 9.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - \frac{2 - 1}{2}$

خطوة 9.6

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$\frac{1}{2} (- - \cos (0) + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

خطوة 10.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{2} (- (- 1 \cdot 1) + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

خطوة 10.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (- - 1 + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

خطوة 10.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

خطوة 10.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{2} + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

خطوة 10.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 1}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 10.7

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 10.8

اضرب $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.8.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2}$

خطوة 10.8.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

خطوة 10.9

لكتابة $- \frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 10.10

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.10.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

خطوة 10.10.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{4}$

خطوة 10.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3 - 2}{4}$

خطوة 10.12

اطرح $2$ من $3$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{4}$

الصيغة العشرية:

$0.25$