حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} 2 \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = \sec (x)$ . إذن $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = \sec (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \sec (x)$ .

$u_{lower} = \sec (- \frac{π}{4})$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$u_{lower} = \sec (\frac{7 π}{4})$

خطوة 2.3.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$u_{lower} = \sec (\frac{π}{4})$

خطوة 2.3.3

القيمة الدقيقة لـ $\sec (\frac{π}{4})$ هي $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

خطوة 2.3.4

اضرب $\frac{2}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 2.3.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اضرب $\frac{2}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 2.3.5.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

خطوة 2.3.5.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

خطوة 2.3.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 2.3.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 2.3.5.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.3.5.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.3.5.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.3.5.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.3.5.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

خطوة 2.3.5.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 2.3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 2.3.6.2

اقسِم $\sqrt{2}$ على $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{2}$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \sec (x)$ .

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{4})$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

القيمة الدقيقة لـ $\sec (\frac{π}{4})$ هي $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

خطوة 2.5.2

اضرب $\frac{2}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 2.5.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

اضرب $\frac{2}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 2.5.3.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

خطوة 2.5.3.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

خطوة 2.5.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 2.5.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 2.5.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.5.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.5.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.5.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.5.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

خطوة 2.5.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 2.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 2.5.4.2

اقسِم $\sqrt{2}$ على $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{2}$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = \sqrt{2}$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$2 \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} u d u$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

خطوة 4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{u^{2}}{2}$ في $\sqrt{2}$ وفي $\sqrt{2}$ .

$2 ((\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}) - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

خطوة 5.2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

خطوة 5.2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

خطوة 5.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

خطوة 5.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 (\frac{2^{1}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

خطوة 5.2.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

خطوة 5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

خطوة 5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 (1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

خطوة 5.2.3

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2})$

خطوة 5.2.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2})$

خطوة 5.2.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$2 (1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

خطوة 5.2.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

خطوة 5.2.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 (1 - \frac{2^{1}}{2})$

خطوة 5.2.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$2 (1 - \frac{2}{2})$

خطوة 5.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (1 - \frac{2}{2})$

خطوة 5.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 (1 - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 (1 - 1)$

خطوة 5.2.6

اطرح $1$ من $1$ .

$2 \cdot 0$

خطوة 5.2.7

اضرب $2$ في $0$ .

$0$