حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sin^{2} (2 x) \cos^{2} (2 x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = 2 x$ . إذن $d u_{1} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{\sin^{2} (u_{1})}{2}$ و $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 4

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

خطوة 5

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ في $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{(1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1}))}{2 \cdot 2} d u_{1}$

خطوة 6.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{(1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1}))}{4} d u_{1}$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int (1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1})) d u_{1})$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} \int (1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1})) d u_{1}$

خطوة 8.2

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{1}{8} \int (1 - \cos (2 u_{1})) (1 + \cos (2 u_{1})) d u_{1}$

خطوة 9

لنفترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . إذن $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

خطوة 9.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $2 u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 9.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{8} \int (1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2})) \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \int (1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2})$

خطوة 11

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8} \int (1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2}$

خطوة 11.1.2

اضرب $2$ في $8$ .

$\frac{1}{16} \int (1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2}$

خطوة 11.2

وسّع $(1 - \cos (u_{2})) (1 + \cos (u_{2}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{16} \int 1 (1 + \cos (u_{2})) - \cos (u_{2}) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2}$

خطوة 11.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{16} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) (1 + \cos (u_{2})) d u_{2}$

خطوة 11.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{16} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cdot 1 - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 11.2.4

انقُل $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{16} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 11.2.5

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + 1 \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 11.2.6

اضرب $\cos (u_{2})$ في $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 11.2.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 11.2.8

أخرِج السالب.

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - (\cos (u_{2}) \cos (u_{2})) d u_{2}$

خطوة 11.2.9

ارفع $\cos (u_{2})$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - (\cos^{1} (u_{2}) \cos (u_{2})) d u_{2}$

خطوة 11.2.10

ارفع $\cos (u_{2})$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - (\cos^{1} (u_{2}) \cos^{1} (u_{2})) d u_{2}$

خطوة 11.2.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - {\cos (u_{2})}^{1 + 1} d u_{2}$

خطوة 11.2.12

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + \cos (u_{2}) - \cos (u_{2}) - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 11.2.13

اطرح $\cos (u_{2})$ من $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{16} \int 1 + 0 - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 11.2.14

اطرح $\cos^{2} (u_{2})$ من $0$ .

$\frac{1}{16} \int 1 - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 12

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{16} (\int d u_{2} + \int - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 13

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C + \int - \cos^{2} (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 14

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \int \cos^{2} (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 15

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (u_{2})$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \int \frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2})$

خطوة 16

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}))$

خطوة 17

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2}))$

خطوة 18

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2}))$

خطوة 19

لنفترض أن $u_{3} = 2 u_{2}$ . إذن $d u_{3} = 2 d u_{2}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{3}$ و $d$ $u_{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

افترض أن $u_{3} = 2 u_{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.1

أوجِد مشتقة $2 u_{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

خطوة 19.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، إذن مشتق $2 u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

خطوة 19.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 19.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 19.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{3}$ و $d u_{3}$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3}))$

خطوة 20

اجمع $\cos (u_{3})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3}))$

خطوة 21

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{3}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}))$

خطوة 22

تكامل $\cos (u_{3})$ بالنسبة إلى $u_{3}$ هو $\sin (u_{3})$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C)))$

خطوة 23

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1

بسّط.

$\frac{1}{16} (u_{2} - \frac{u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

خطوة 23.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.2.1

لكتابة $u_{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

خطوة 23.2.2

اجمع $u_{2}$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{u_{2} \cdot 2}{2} - \frac{u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

خطوة 23.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{16} (\frac{u_{2} \cdot 2 - u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

خطوة 23.2.4

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 \cdot u_{2} - u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

خطوة 23.2.5

اطرح $u_{2}$ من $2 u_{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{u_{2}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

خطوة 24

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{3})}{4}) + C$

خطوة 24.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $2 u_{2}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 u_{1}}{2} - \frac{\sin (2 u_{2})}{4}) + C$

خطوة 24.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 u_{2})}{4}) + C$

خطوة 24.4

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 u_{1}))}{4}) + C$

خطوة 24.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{16} (\frac{2 (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{4}) + C$

خطوة 25

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{16} (\frac{2 (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{4}) + C$

خطوة 25.1.1.2

اقسِم $2 x$ على $1$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{4}) + C$

خطوة 25.1.2

اضرب $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.1.2.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{\sin (4 \cdot 2 x)}{4}) + C$

خطوة 25.1.2.2

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

خطوة 25.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

خطوة 25.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.3.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$\frac{1}{2 (8)} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

خطوة 25.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{1}{2 (8)} (2 (x)) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

خطوة 25.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 \cdot 8} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

خطوة 25.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{8} x + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

خطوة 25.4

اجمع $\frac{1}{8}$ و $x$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4}) + C$

خطوة 25.5

اضرب $\frac{1}{16} (- \frac{\sin (8 x)}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.5.1

اضرب $\frac{1}{16}$ في $\frac{\sin (8 x)}{4}$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (8 x)}{16 \cdot 4} + C$

خطوة 25.5.2

اضرب $16$ في $4$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (8 x)}{64} + C$

خطوة 26

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{8} x - \frac{1}{64} \sin (8 x) + C$