حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\sin (2 θ + 1)}{\cos^{2} (2 θ + 1)} d θ$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 2 θ + 1$ . إذن $d u = 2 d θ$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d θ$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 2 θ + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d θ}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 θ + 1$ .

$\frac{d}{d θ} [2 θ + 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 θ + 1$ بالنسبة إلى $θ$ هو $\frac{d}{d θ} [2 θ] + \frac{d}{d θ} [1]$ .

$\frac{d}{d θ} [2 θ] + \frac{d}{d θ} [1]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d θ} [2 θ]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، إذن مشتق $2 θ$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [1]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ هو $n θ^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d θ} [1]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d θ} [1]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $θ$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{\sin (u)}{\cos^{2} (u)} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{\sin (u)}{\cos^{2} (u)}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (u)}{\cos^{2} (u) \cdot 2} d u$

خطوة 2.2

انقُل $2$ إلى يسار $\cos^{2} (u)$ .

$\int \frac{\sin (u)}{2 \cos^{2} (u)} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sin (u)}{\cos^{2} (u)} d u$

خطوة 4

اضرب في $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sin (u) \cdot 1}{\cos^{2} (u)} d u$

خطوة 5

أخرِج العامل $\cos (u)$ من $\cos^{2} (u)$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sin (u) \cdot 1}{\cos (u) \cos (u)} d u$

خطوة 6

افصِل الكسور.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} d u$

خطوة 7

حوّل من $\frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ إلى $\tan (u)$ .

$\frac{1}{2} \int \tan (u) \frac{1}{\cos (u)} d u$

خطوة 8

حوّل من $\frac{1}{\cos (u)}$ إلى $\sec (u)$ .

$\frac{1}{2} \int \tan (u) \sec (u) d u$

خطوة 9

بما أن مشتق $\sec (u)$ هو $\tan (u) \sec (u)$ ، إذن تكامل $\tan (u) \sec (u)$ هو $\sec (u)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (u) + C)$

خطوة 10

بسّط.

$\frac{1}{2} \sec (u) + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 θ + 1$ .

$\frac{1}{2} \sec (2 θ + 1) + C$