حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sec^{4} (x) \tan^{3} (x) d x$

خطوة 1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $4$ في صورة $2$ زائد $2$

$\int {\sec (x)}^{2 + 2} \tan^{3} (x) d x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة ${\sec (x)}^{2 + 2}$ بالصيغة $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan^{3} (x) d x$

خطوة 2

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sec^{2} (x)$ بحيث تصبح $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) \tan^{3} (x) d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = \tan (x)$ . إذن $d u = \sec^{2} (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = \tan (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int (1 + u^{2}) u^{3} d u$

خطوة 4

وسّع $(1 + u^{2}) u^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 1 u^{3} + u^{2} u^{3} d u$

خطوة 4.2

اضرب $u^{3}$ في $1$ .

$\int u^{3} + u^{2} u^{3} d u$

خطوة 4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{3} + u^{2 + 3} d u$

خطوة 4.4

أضف $2$ و $3$ .

$\int u^{3} + u^{5} d u$

خطوة 4.5

أعِد ترتيب $u^{3}$ و $u^{5}$ .

$\int u^{5} + u^{3} d u$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{5}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \int u^{3} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \frac{1}{4} u^{4} + C$

خطوة 8

بسّط.

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\tan (x)$ .

$\frac{1}{6} \tan^{6} (x) + \frac{1}{4} \tan^{4} (x) + C$