حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \csc^{4} (\frac{x}{4}) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \frac{x}{4}$ . إذن $d u = \frac{1}{4} d x$ ، لذا $4 d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \frac{x}{4}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

خطوة 1.1.2

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \csc^{4} (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{4}$ .

$\int \csc^{4} (u) (1 \cdot 4) d u$

خطوة 2.2

اضرب $4$ في $1$ .

$\int \csc^{4} (u) \cdot 4 d u$

خطوة 2.3

انقُل $4$ إلى يسار $\csc^{4} (u)$ .

$\int 4 \csc^{4} (u) d u$

خطوة 3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int \csc^{4} (u) d u$

خطوة 4

طبّق قاعدة الاختزال.

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} \int \csc^{2} (u) d u)$

خطوة 5

بما أن مشتق $- \cot (u)$ هو $\csc^{2} (u)$ ، إذن تكامل $\csc^{2} (u)$ هو $- \cot (u)$ .

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (u) + C))$

خطوة 6

أعِد كتابة $4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (u) + C))$ بالصيغة $4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} - \frac{2 \cot (u)}{3}) + C$ .

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} - \frac{2 \cot (u)}{3}) + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{4}$ .

$4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} - \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3}) + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

خطوة 8.2

اضرب $4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- 4 \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

خطوة 8.2.2

اجمع $- 4$ و $\frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3}$ .

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

خطوة 8.3

اضرب $4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} - 4 \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

خطوة 8.3.2

اجمع $- 4$ و $\frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}$ .

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + \frac{- 4 (2 \cot (\frac{x}{4}))}{3} + C$

خطوة 8.3.3

اضرب $2$ في $- 4$ .

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + \frac{- 8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

خطوة 8.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{4 \cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} + \frac{- 8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

خطوة 8.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{4 \cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} - \frac{8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

خطوة 9

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{4}{3} \cot (\frac{1}{4} x) \csc^{2} (\frac{1}{4} x) - \frac{8}{3} \cot (\frac{1}{4} x) + C$