حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{l}{n π} \cdot \cos (\frac{n π x}{l}) d x$

خطوة 1

اجمع $\frac{l}{n π}$ و $\cos (\frac{n π x}{l})$ .

$\int \frac{l \cos (\frac{n π x}{l})}{n π} d x$

خطوة 2

بما أن $\frac{l}{n π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{l}{n π}$ خارج التكامل.

$\frac{l}{n π} \int \cos (\frac{n π x}{l}) d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = \frac{n π x}{l}$ . إذن $d u = \frac{π n}{l} d x$ ، لذا $\frac{l}{π n} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = \frac{n π x}{l}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{n π x}{l}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{n π x}{l}]$

خطوة 3.1.2

بما أن $\frac{n π}{l}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{n π x}{l}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{n π}{l} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{n π}{l} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{n π}{l} \cdot 1$

خطوة 3.1.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

اضرب $\frac{n π}{l}$ في $1$ .

$\frac{n π}{l}$

خطوة 3.1.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{π n}{l}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{l}{n π} \int \cos (u) \frac{1}{\frac{π n}{l}} d u$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{π n}{l}$ .

$\frac{l}{n π} \int \cos (u) (1 \frac{l}{π n}) d u$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{l}{π n}$ في $1$ .

$\frac{l}{n π} \int \cos (u) \frac{l}{π n} d u$

خطوة 4.3

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{l}{π n}$ .

$\frac{l}{n π} \int \frac{\cos (u) l}{π n} d u$

خطوة 5

بما أن $\frac{l}{π n}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{l}{π n}$ خارج التكامل.

$\frac{l}{n π} (\frac{l}{π n} \int \cos (u) d u)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $\frac{l}{π n}$ في $\frac{l}{n π}$ .

$\frac{l \cdot l}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

خطوة 6.2

ارفع $l$ إلى القوة $1$ .

$\frac{l^{1} l}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

خطوة 6.3

ارفع $l$ إلى القوة $1$ .

$\frac{l^{1} l^{1}}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

خطوة 6.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{l^{1 + 1}}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

خطوة 6.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{l^{2}}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

خطوة 6.6

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$\frac{l^{2}}{n (n (π^{1} π))} \int \cos (u) d u$

خطوة 6.7

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$\frac{l^{2}}{n (n (π^{1} π^{1}))} \int \cos (u) d u$

خطوة 6.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{l^{2}}{n (n π^{1 + 1})} \int \cos (u) d u$

خطوة 6.9

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{l^{2}}{n (n π^{2})} \int \cos (u) d u$

خطوة 6.10

ارفع $n$ إلى القوة $1$ .

$\frac{l^{2}}{n^{1} n π^{2}} \int \cos (u) d u$

خطوة 6.11

ارفع $n$ إلى القوة $1$ .

$\frac{l^{2}}{n^{1} n^{1} π^{2}} \int \cos (u) d u$

خطوة 6.12

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{l^{2}}{n^{1 + 1} π^{2}} \int \cos (u) d u$

خطوة 6.13

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{l^{2}}{n^{2} π^{2}} \int \cos (u) d u$

خطوة 7

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{l^{2}}{n^{2} π^{2}} (\sin (u) + C)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط.

$\frac{l^{2}}{n^{2} π^{2}} \sin (u) + C$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{l^{2}}{n^{2} π^{2}}$ و $\sin (u)$ .

$\frac{l^{2} \sin (u)}{n^{2} π^{2}} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{n π x}{l}$ .

$\frac{l^{2} \sin (\frac{n π x}{l})}{n^{2} π^{2}} + C$