حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\ln (x^{2})}{x^{2}} d x$

خطوة 1

أعِد كتابة $\frac{\ln (x^{2})}{x^{2}}$ بالصيغة $\frac{2 \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\int \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

خطوة 2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

خطوة 3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$2 \int \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 3.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 \int \ln (x) x^{- 2} d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (x)$ و $d v = x^{- 2}$ .

$2 (\ln (x) (- \frac{1}{x}) - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{1}{x}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

خطوة 5.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{1}{x}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x \cdot x} d x)$

خطوة 5.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x} d x)$

خطوة 5.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x)$

خطوة 5.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x)$

خطوة 5.6

أضف $1$ و $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{2}} d x)$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - - \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + 1 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

خطوة 7.1.2

اضرب $\int \frac{1}{x^{2}} d x$ في $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

خطوة 7.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int {(x^{2})}^{- 1} d x)$

خطوة 7.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{2 \cdot - 1} d x)$

خطوة 7.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{- 2} d x)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C)$

خطوة 9

أعِد كتابة $2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C)$ بالصيغة $2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}) + C$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}) + C$