حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\ln (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 2

أعِد كتابة $\frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}}$ بالصيغة $\frac{\frac{1}{2} \ln (x)}{\sqrt{x}}$ .

$\int \frac{\frac{1}{2} \ln (x)}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 4

أعِد كتابة $\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ في صورة حاصل ضرب.

$\frac{1}{2} \int \ln (x) \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (x)$ و $d v = \frac{1}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int x^{\frac{1}{2}} \frac{2}{x} d x)$

خطوة 6.2

اجمع $x^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{2}{x}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{x} d x)$

خطوة 6.3

انقُل $2$ إلى يسار $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x} d x)$

خطوة 6.4

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x)$

خطوة 6.5

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x)$

خطوة 6.5.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x)$

خطوة 6.5.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x)$

خطوة 6.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x)$

خطوة 6.5.4

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

خطوة 7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - (2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x))$

خطوة 8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

خطوة 8.2

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x)$

خطوة 8.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x)$

خطوة 8.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x)$

خطوة 8.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C))$

خطوة 10

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C))$ بالصيغة $\frac{1}{2} (2 \ln (x) x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}}) + C$ .

$\frac{1}{2} (2 \ln (x) x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}}) + C$