حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 4 π (1 - \cos (x)) d x$

خطوة 1

بما أن $4 π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4 π$ خارج التكامل.

$4 π \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 1 - \cos (x) d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$4 π (\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \cos (x) d x)$

خطوة 3

طبّق قاعدة الثابت.

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \cos (x) d x)$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x)$

خطوة 5

تكامل $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}))$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

احسِب قيمة $x$ في $\frac{π}{3}$ وفي $- \frac{π}{3}$ .

$4 π ((\frac{π}{3}) + \frac{π}{3} - (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}))$

خطوة 6.1.2

احسِب قيمة $\sin (x)$ في $\frac{π}{3}$ وفي $- \frac{π}{3}$ .

$4 π (\frac{π}{3} + \frac{π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

خطوة 6.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 π (\frac{π + π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

خطوة 6.1.3.2

أضف $π$ و $π$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

خطوة 6.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})))$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{5 π}{3})))$

خطوة 6.3.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \sin (\frac{π}{3})))$

خطوة 6.3.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \frac{\sqrt{3}}{2}))$

خطوة 6.3.4

اضرب $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}))$

خطوة 6.3.4.2

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{2}$ في $1$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}))$

خطوة 6.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2})$

خطوة 6.3.6

أضف $\sqrt{3}$ و $\sqrt{3}$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{2})$

خطوة 6.3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{2})$

خطوة 6.3.7.2

اقسِم $\sqrt{3}$ على $1$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - \sqrt{3})$

خطوة 6.3.8

طبّق خاصية التوزيع.

$4 π \frac{2 π}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

خطوة 6.3.9

اضرب $4 π \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.9.1

اجمع $\frac{2 π}{3}$ و $4$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{3} π + 4 π (- \sqrt{3})$

خطوة 6.3.9.2

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{8 π}{3} π + 4 π (- \sqrt{3})$

خطوة 6.3.9.3

اجمع $\frac{8 π}{3}$ و $π$ .

$\frac{8 π π}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

خطوة 6.3.9.4

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$\frac{8 (π^{1} π)}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

خطوة 6.3.9.5

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$\frac{8 (π^{1} π^{1})}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

خطوة 6.3.9.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{8 π^{1 + 1}}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

خطوة 6.3.9.7

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{8 π^{2}}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

خطوة 6.3.10

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{8 π^{2}}{3} - 4 π \sqrt{3}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{8 π^{2}}{3} - 4 π \sqrt{3}$

الصيغة العشرية:

$4.55335269 \dots$