حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} x + \cos (x) d x$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} x d x + \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

خطوة 3

تكامل $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} + \sin (x)]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$ و $\sin (x)]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \sin (x)]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{1}{2} x^{2} + \sin (x)$ في $\frac{π}{2}$ وفي $\frac{π}{3}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \sin (\frac{π}{3}))$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \sin (\frac{π}{3}))$

خطوة 4.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 4.4.2

اجمع.

$\frac{1 π^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 4.4.3

اضرب $π^{2}$ في $1$ .

$\frac{π^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 4.4.4

اضرب $2$ في $2^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.1

اضرب $2$ في $2^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$\frac{π^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 4.4.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{π^{2}}{2^{1 + 2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 4.4.4.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 4.4.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{π}{3}$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{3^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 4.4.6

اجمع.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1 π^{2}}{2 \cdot 3^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 4.4.7

اضرب $π^{2}$ في $1$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{2 \cdot 3^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 4.4.8

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{2 \cdot 9} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 4.4.9

اضرب $2$ في $9$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{18} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 4.4.10

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - \frac{π^{2}}{18} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.4.11

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{π^{2}}{8} + 1 - \frac{π^{2}}{18} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.4.12

لكتابة $\frac{π^{2}}{8}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{9}{9}$ .

$\frac{π^{2}}{8} \cdot \frac{9}{9} - \frac{π^{2}}{18} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.4.13

لكتابة $- \frac{π^{2}}{18}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2}}{8} \cdot \frac{9}{9} - \frac{π^{2}}{18} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.4.14

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $72$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.14.1

اضرب $\frac{π^{2}}{8}$ في $\frac{9}{9}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{8 \cdot 9} - \frac{π^{2}}{18} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.4.14.2

اضرب $8$ في $9$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{72} - \frac{π^{2}}{18} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.4.14.3

اضرب $\frac{π^{2}}{18}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{72} - \frac{π^{2} \cdot 4}{18 \cdot 4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.4.14.4

اضرب $18$ في $4$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{72} - \frac{π^{2} \cdot 4}{72} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.4.15

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4}{72} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.4.16

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4}{72} + \frac{72}{72} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.4.17

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72}{72} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.4.18

لكتابة $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{36}{36}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72}{72} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{36}{36}$

خطوة 4.4.19

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $72$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.19.1

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{2}$ في $\frac{36}{36}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72}{72} - \frac{\sqrt{3} \cdot 36}{2 \cdot 36}$

خطوة 4.4.19.2

اضرب $2$ في $36$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72}{72} - \frac{\sqrt{3} \cdot 36}{72}$

خطوة 4.4.20

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72 - \sqrt{3} \cdot 36}{72}$

خطوة 4.4.21

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - 4 π^{2} + 72 - \sqrt{3} \cdot 36}{72}$

خطوة 4.4.22

اضرب $36$ في $- 1$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - 4 π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

خطوة 4.4.23

اطرح $4 π^{2}$ من $π^{2} \cdot 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.23.1

أعِد ترتيب $π^{2}$ و $9$ .

$\frac{9 \cdot π^{2} - 4 π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

خطوة 4.4.23.2

اطرح $4 π^{2}$ من $9 \cdot π^{2}$ .

$\frac{5 \cdot π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

$\frac{5 π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{5 π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

الصيغة العشرية:

$0.81936379 \dots$