حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int e^{- s t} t d t$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = t$ و $d v = e^{- s t}$ .

$t (- \frac{e^{- s t}}{s}) - \int - \frac{e^{- s t}}{s} d t$

خطوة 2

اجمع $t$ و $\frac{e^{- s t}}{s}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \int - \frac{e^{- s t}}{s} d t$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - - \int \frac{e^{- s t}}{s} d t$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + 1 \int \frac{e^{- s t}}{s} d t$

خطوة 4.2

اضرب $\int \frac{e^{- s t}}{s} d t$ في $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \int \frac{e^{- s t}}{s} d t$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{s}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{s}$ خارج التكامل.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int e^{- s t} d t$

خطوة 6

لنفترض أن $u = - s t$ . إذن $d u = - s d t$ ، لذا $- \frac{1}{s} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = - s t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $- s t$ .

$\frac{d}{d t} [- s t]$

خطوة 6.1.2

بما أن $- s$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- s t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- s \frac{d}{d t} [t]$ .

$- s \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- s \cdot 1$

خطوة 6.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- s$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int - e^{u} \frac{1}{s} d u$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{s}$ و $e^{u}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int - \frac{e^{u}}{s} d u$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} (- \int \frac{e^{u}}{s} d u)$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{s}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{s}$ خارج التكامل.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} (- (\frac{1}{s} \int e^{u} d u))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $\frac{1}{s}$ في $\frac{1}{s}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s \cdot s} \int e^{u} d u$

خطوة 10.2

ارفع $s$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{1} s} \int e^{u} d u$

خطوة 10.3

ارفع $s$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{1} s^{1}} \int e^{u} d u$

خطوة 10.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{1 + 1}} \int e^{u} d u$

خطوة 10.5

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}} \int e^{u} d u$

خطوة 11

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}} (e^{u} + C)$

خطوة 12

أعِد كتابة $- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}} (e^{u} + C)$ بالصيغة $- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{e^{u}}{s^{2}} + C$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{e^{u}}{s^{2}} + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- s t$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{e^{- s t}}{s^{2}} + C$