حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x}{{(1 - x)}^{10}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 - 1$

خطوة 1.1.4

اطرح $1$ من $0$ .

$- 1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{- (- u + 1)}{u^{10}} d u$

خطوة 2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int - \frac{- u + 1}{u^{10}} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{- u + 1}{u^{10}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $u^{10}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \int (- u + 1) {(u^{10})}^{- 1} d u$

خطوة 4.2

اضرب الأُسس في ${(u^{10})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int (- u + 1) u^{10 \cdot - 1} d u$

خطوة 4.2.2

اضرب $10$ في $- 1$ .

$- \int (- u + 1) u^{- 10} d u$

خطوة 5

اضرب $(- u + 1) u^{- 10}$ .

$- \int - u \cdot u^{- 10} + 1 u^{- 10} d u$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $u$ في $u^{- 10}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

انقُل $u^{- 10}$ .

$- \int - (u^{- 10} u) + 1 u^{- 10} d u$

خطوة 6.1.2

اضرب $u^{- 10}$ في $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$- \int - (u^{- 10} u^{1}) + 1 u^{- 10} d u$

خطوة 6.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \int - u^{- 10 + 1} + 1 u^{- 10} d u$

خطوة 6.1.3

أضف $- 10$ و $1$ .

$- \int - u^{- 9} + 1 u^{- 10} d u$

خطوة 6.2

اضرب $u^{- 10}$ في $1$ .

$- \int - u^{- 9} + u^{- 10} d u$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- (\int - u^{- 9} d u + \int u^{- 10} d u)$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- (- \int u^{- 9} d u + \int u^{- 10} d u)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 9}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \frac{1}{8} u^{- 8}$ .

$- (- (- \frac{1}{8} u^{- 8} + C) + \int u^{- 10} d u)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع $u^{- 8}$ و $\frac{1}{8}$ .

$- (- (- \frac{u^{- 8}}{8} + C) + \int u^{- 10} d u)$

خطوة 10.2

انقُل $u^{- 8}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- (- \frac{1}{8 u^{8}} + C) + \int u^{- 10} d u)$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 10}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \frac{1}{9} u^{- 9}$ .

$- (- (- \frac{1}{8 u^{8}} + C) - \frac{1}{9} u^{- 9} + C)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اجمع $u^{- 9}$ و $\frac{1}{9}$ .

$- (- (- \frac{1}{8 u^{8}} + C) - \frac{u^{- 9}}{9} + C)$

خطوة 12.1.2

انقُل $u^{- 9}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- (- \frac{1}{8 u^{8}} + C) - \frac{1}{9 u^{9}} + C)$

خطوة 12.2

بسّط.

$- (\frac{1}{8 u^{8}} - \frac{1}{9 u^{9}}) + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - x$ .

$- (\frac{1}{8 {(1 - x)}^{8}} - \frac{1}{9 {(1 - x)}^{9}}) + C$