حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x}{{(\frac{3}{2} y - x)}^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \frac{3}{2} y - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \frac{3}{2} y - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{3}{2} y - x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y - x]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{3}{2} y - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $\frac{3}{2} y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\frac{3}{2} y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 - 1$

خطوة 1.1.4

اطرح $1$ من $0$ .

$- 1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{- (- u + \frac{3 y}{2})}{u^{2}} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int - \frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}} d u$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\int - (\frac{2}{2} \cdot \frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}}) d u$

خطوة 2.3

اجمع.

$\int - \frac{2 (- u + \frac{3 y}{2})}{2 u^{2}} d u$

خطوة 2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\int - \frac{2 (- u) + 2 \frac{3 y}{2}}{2 u^{2}} d u$

خطوة 2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int - \frac{2 (- u) + 2 \frac{3 y}{2}}{2 u^{2}} d u$

خطوة 2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int - \frac{2 (- u) + 3 y}{2 u^{2}} d u$

خطوة 2.6

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\int - \frac{- 2 u + 3 y}{2 u^{2}} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{- 2 u + 3 y}{2 u^{2}} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{- 2 u + 3 y}{u^{2}} d u)$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) {(u^{2})}^{- 1} d u$

خطوة 5.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) u^{2 \cdot - 1} d u$

خطوة 5.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) u^{- 2} d u$

خطوة 6

وسّع $(- 2 u + 3 y) u^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1}{2} \int - 2 u \cdot u^{- 2} + 3 y u^{- 2} d u$

خطوة 6.2

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{1}{2} \int - 2 (u^{1} u^{- 2}) + 3 y u^{- 2} d u$

خطوة 6.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{1}{2} \int - 2 u^{1 - 2} + 3 y u^{- 2} d u$

خطوة 6.4

اطرح $2$ من $1$ .

$- \frac{1}{2} \int - 2 u^{- 1} + 3 y u^{- 2} d u$

خطوة 6.5

أعِد ترتيب $- 2 u^{- 1}$ و $3 y u^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} \int 3 y u^{- 2} - 2 u^{- 1} d u$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- \frac{1}{2} (\int 3 y u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 1} d u)$

خطوة 8

بما أن $3 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $3 y$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{2} (3 y \int u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 1} d u)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) + \int - 2 u^{- 1} d u)$

خطوة 10

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) - 2 \int u^{- 1} d u)$

خطوة 11

تكامل $u^{- 1}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) - 2 (\ln (| u |) + C))$

خطوة 12

بسّط.

$- \frac{1}{2} (- \frac{3 y}{u} - 2 \ln (| u |)) + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{3}{2} y - x$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{3 y}{\frac{3}{2} y - x} - 2 \ln (| \frac{3}{2} y - x |)) + C$