حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x - e^{3 \arctan (x)}}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = \arctan (x)$ . إذن $d u_{1} = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$ ، لذا $- d u_{1} = \frac{- 1}{x^{2} + 1} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = \arctan (x)$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\arctan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.1.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \tan (u_{1}) - e^{3 u_{1}} d u_{1}$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \tan (u_{1}) d u_{1} + \int - e^{3 u_{1}} d u_{1}$

خطوة 3

تكامل $\tan (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| \sec (u_{1}) |)$ .

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C + \int - e^{3 u_{1}} d u_{1}$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - \int e^{3 u_{1}} d u_{1}$

خطوة 5

لنفترض أن $u_{2} = 3 u_{1}$ . إذن $d u_{2} = 3 d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u_{2} = 3 u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $3 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3 u_{1}]$

خطوة 5.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $3 u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $3 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$3 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

خطوة 6

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 8

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C)$

خطوة 9

بسّط.

$\ln (| \sec (u_{1}) |) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

خطوة 10

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\arctan (x)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (x)) |) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

خطوة 10.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 u_{1}$ .

$\ln (| \sec (\arctan (x)) |) - \frac{1}{3} e^{3 u_{1}} + C$

خطوة 10.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\arctan (x)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (x)) |) - \frac{1}{3} e^{3 \arctan (x)} + C$