حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sqrt{t} (t^{6} + t - 4) d t$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = t^{6} + t - 4$ و $d v = \sqrt{t}$ .

$(t^{6} + t - 4) (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (6 t^{5} + 1) d t$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (6 t^{5} + 1) d t$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{2}{3}$ و $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (6 t^{5} + 1) d t$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (6 t^{5}) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 1 d t$

خطوة 3.2

أعِد ترتيب $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ و $6$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 6 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t^{5} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 1 d t$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ و $1$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 6 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t^{5} + 1 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 3.4

اجمع $6$ و $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{6 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3} t^{5} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 3.5

اضرب $6$ في $2$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3}{2}}}{3} t^{5} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 3.6

اجمع $\frac{12 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ و $t^{5}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3}{2}} t^{5}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 3.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3}{2} + 5}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 3.8

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 3.9

اجمع $5$ و $\frac{2}{2}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 3.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3 + 5 \cdot 2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 3.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

اضرب $5$ في $2$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3 + 10}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 3.11.2

أضف $3$ و $10$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{13}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 3.12

اضرب $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ في $1$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{13}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $3$ من $12 t^{\frac{13}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (4 t^{\frac{13}{2}})}{3} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (4 t^{\frac{13}{2}})}{3 (1)} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (4 t^{\frac{13}{2}})}{3 \cdot 1} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{13}{2}}}{1} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 4.2.4

اقسِم $4 t^{\frac{13}{2}}$ على $1$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 4 t^{\frac{13}{2}} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int 4 t^{\frac{13}{2}} d t + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

خطوة 6

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 \int t^{\frac{13}{2}} d t + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{\frac{13}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{2}{15} t^{\frac{15}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 (\frac{2}{15} t^{\frac{15}{2}} + C) + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

خطوة 8

اجمع $\frac{2}{15}$ و $t^{\frac{15}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 (\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + C) + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

خطوة 9

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{2}{3}$ خارج التكامل.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 (\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + C) + \frac{2}{3} \int t^{\frac{3}{2}} d t)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 (\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + C) + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C))$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{2}{5}$ و $t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 (\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + C) + \frac{2}{3} (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

خطوة 11.2

بسّط.

$\frac{t^{\frac{15}{2}} \cdot 2}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 \frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

خطوة 11.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

انقُل $2$ إلى يسار $t^{\frac{15}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 \frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

خطوة 11.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 \frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

خطوة 11.3.3

اجمع $4$ و $\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15}$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4 (2 t^{\frac{15}{2}})}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

خطوة 11.3.4

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

خطوة 11.3.5

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{2 (2 t^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}) + C$

خطوة 11.3.6

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5}) + C$

خطوة 11.3.7

اضرب $3$ في $5$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

خطوة 11.3.8

لكتابة $- (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

خطوة 11.3.9

اجمع $- (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{- (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

خطوة 11.3.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}} - (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

خطوة 11.3.11

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}} - 3 (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

خطوة 12

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} (2 t^{\frac{15}{2}} - 3 (\frac{8}{15} t^{\frac{15}{2}} + \frac{4}{15} t^{\frac{5}{2}})) + \frac{2}{3} t^{\frac{5}{2}} - \frac{8}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$