حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sqrt{t} (t^{2} + t - 1) d t$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = t^{2} + t - 1$ و $d v = \sqrt{t}$ .

$(t^{2} + t - 1) (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (2 t + 1) d t$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (2 t + 1) d t$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{2}{3}$ و $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (2 t + 1) d t$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (2 t) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 1 d t$

خطوة 3.2

أعِد ترتيب $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ و $2$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 1 d t$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ و $1$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t + 1 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 3.4

اجمع $2$ و $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3} t + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 3.5

اضرب $2$ في $2$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} t + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 3.6

اجمع $\frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ و $t$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2}} t}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 3.7

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 (t^{\frac{3}{2}} t^{1})}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2} + 1}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 3.9

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 3.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3 + 2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 3.11

أضف $3$ و $2$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 3.12

اضرب $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ في $1$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} d t + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

خطوة 5

بما أن $\frac{4}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{4}{3}$ خارج التكامل.

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \int t^{\frac{5}{2}} d t + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{\frac{5}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}}$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C) + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

خطوة 7

اجمع $\frac{2}{7}$ و $t^{\frac{7}{2}}$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

خطوة 8

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{2}{3}$ خارج التكامل.

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{2}{3} \int t^{\frac{3}{2}} d t)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع $\frac{2}{5}$ و $t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{2}{3} (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

خطوة 10.2

بسّط.

$\frac{t^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

خطوة 10.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

انقُل $2$ إلى يسار $t^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

خطوة 10.3.2

اضرب $\frac{4}{3}$ في $\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7}$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4 (2 t^{\frac{7}{2}})}{3 \cdot 7} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

خطوة 10.3.3

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{3 \cdot 7} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

خطوة 10.3.4

اضرب $3$ في $7$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

خطوة 10.3.5

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{2 (2 t^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}) + C$

خطوة 10.3.6

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5}) + C$

خطوة 10.3.7

اضرب $3$ في $5$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

خطوة 10.3.8

لكتابة $- (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

خطوة 10.3.9

اجمع $- (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{- (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

خطوة 10.3.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

خطوة 10.3.11

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}} - 3 (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

خطوة 11

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} (2 t^{\frac{7}{2}} - 3 (\frac{8}{21} t^{\frac{7}{2}} + \frac{4}{15} t^{\frac{5}{2}})) + \frac{2}{3} t^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$