حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{v + 1}{- 1 - v^{2}} d v$

خطوة 1

قسّم الكسر $\frac{v + 1}{- 1 - v^{2}}$ إلى كسرين.

$\int \frac{v}{- 1 - v^{2}} + \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{v}{- 1 - v^{2}} d v + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

خطوة 3

لنفترض أن $u = - 1 - v^{2}$ . إذن $d u = - 2 v d v$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = v d v$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = - 1 - v^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d v}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $- 1 - v^{2}$ .

$\frac{d}{d v} [- 1 - v^{2}]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 1 - v^{2}$ بالنسبة إلى $v$ هو $\frac{d}{d v} [- 1] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{d}{d v} [- 1] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$

خطوة 3.1.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $v$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، إذن مشتق $- v^{2}$ بالنسبة إلى $v$ يساوي $- \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d v} [v^{2}]$

خطوة 3.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ هو $n v^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - (2 v)$

خطوة 3.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$0 - 2 v$

خطوة 3.1.4

اطرح $2 v$ من $0$ .

$- 2 v$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

خطوة 4.3

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

خطوة 7

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

خطوة 8

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 - v^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 \cdot 1 - v^{2}} d v$

خطوة 8.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 \cdot 1$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1) - v^{2}} d v$

خطوة 8.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- v^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1) - (v^{2})} d v$

خطوة 8.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (v^{2})$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1 + v^{2})} d v$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة $- 1 (1 + v^{2})$ بالصيغة $- (1 + v^{2})$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- (1 + v^{2})} d v$

خطوة 9.2

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{- 1 (- 1)}{- (1 + v^{2})} d v$

خطوة 9.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{1}{1 + v^{2}} d v$

خطوة 10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{1 + v^{2}} d v$

خطوة 11

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{1^{2} + v^{2}} d v$

خطوة 12

تكامل $\frac{1}{1^{2} + v^{2}}$ بالنسبة إلى $v$ هو $\arctan (v) + C$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\arctan (v) + C)$

خطوة 13

بسّط.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) - \arctan (v) + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 1 - v^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 1 - v^{2} |) - \arctan (v) + C$