حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{3} e^{5 x} d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{3}$ و $d v = e^{5 x}$ .

$x^{3} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $e^{5 x}$ .

$x^{3} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x$

خطوة 2.2

اجمع $x^{3}$ و $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{5} \cdot 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{5} \cdot 3$ خارج التكامل.

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 3 \int e^{5 x} (x^{2}) d x)$

خطوة 4

اجمع $\frac{1}{5}$ و $3$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} \int e^{5 x} (x^{2}) d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2}$ و $d v = e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (x^{2} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (x^{2} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

خطوة 6.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

خطوة 6.3

اجمع $\frac{1}{5}$ و $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} (2 x) d x)$

خطوة 6.4

اجمع $2$ و $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x}}{5} x d x)$

خطوة 6.5

اجمع $\frac{2 e^{5 x}}{5}$ و $x$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x} x}{5} d x)$

خطوة 7

بما أن $\frac{2}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{2}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - (\frac{2}{5} \int e^{5 x} x d x))$

خطوة 8

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

خطوة 9.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

خطوة 9.3

اجمع $\frac{1}{5}$ و $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} d x))$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \int e^{5 x} d x)))$

خطوة 11

لنفترض أن $u = 5 x$ . إذن $d u = 5 d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

افترض أن $u = 5 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أوجِد مشتقة $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 11.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 11.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

خطوة 11.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$5$

خطوة 11.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{5} d u))$

خطوة 12

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u}}{5} d u))$

خطوة 13

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)))$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب $\frac{1}{5}$ في $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u))$

خطوة 14.2

اضرب $5$ في $5$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u))$

خطوة 15

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)))$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

أعِد كتابة $\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)))$ بالصيغة $\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) + C$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) + C$

خطوة 16.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

لكتابة $- \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) \cdot \frac{5}{5} + C$

خطوة 16.2.2

اجمع $- \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})$ و $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} + \frac{- \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) \cdot 5}{5} + C$

خطوة 16.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{3} e^{5 x} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) \cdot 5}{5} + C$

خطوة 16.2.4

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} - 5 (\frac{3}{5}) (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

خطوة 16.2.5

اجمع $- 5$ و $\frac{3}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{- 5 \cdot 3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

خطوة 16.2.6

اضرب $- 5$ في $3$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{- 15}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

خطوة 16.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 15$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.7.1

أخرِج العامل $5$ من $- 15$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

خطوة 16.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.7.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 3}{5 (1)} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

خطوة 16.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 1} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

خطوة 16.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{- 3}{1} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

خطوة 16.2.7.2.4

اقسِم $- 3$ على $1$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} - 3 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

خطوة 17

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} - 3 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{5 x}}{125})}{5} + C$

خطوة 18

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{5} (x^{3} e^{5 x} - 3 (\frac{1}{5} x^{2} e^{5 x} - \frac{2}{25} x e^{5 x} + \frac{2}{125} e^{5 x})) + C$