حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) + \cos (x) \sin (x) d x$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (x) d x$

خطوة 2

تكامل $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (x) d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . إذن $d u = - \sin (x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = \cos (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

خطوة 3.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 3.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

خطوة 3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{1}^{0} - u d u$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{1}^{0} u d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{0})$

خطوة 6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u^{2}$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{u^{2}}{2}]_{1}^{0})$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $- \cos (x)$ في $\frac{π}{2}$ وفي $0$ .

$(- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0) - (\frac{u^{2}}{2}]_{1}^{0})$

خطوة 7.2

احسِب قيمة $\frac{u^{2}}{2}$ في $0$ وفي $1$ .

$(- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{0}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

خطوة 7.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

خطوة 7.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

خطوة 7.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

خطوة 7.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{0}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

خطوة 7.3.2.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (0 - \frac{1^{2}}{2})$

خطوة 7.3.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (0 - \frac{1}{2})$

خطوة 7.3.4

اطرح $\frac{1}{2}$ من $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - - \frac{1}{2}$

خطوة 7.3.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) + 1 (\frac{1}{2})$

خطوة 7.3.6

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) + \frac{1}{2}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$- 0 + \cos (0) + \frac{1}{2}$

خطوة 8.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- 0 + 1 + \frac{1}{2}$

خطوة 8.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$0 + 1 + \frac{1}{2}$

خطوة 8.4

أضف $0$ و $1$ .

$1 + \frac{1}{2}$

خطوة 8.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 8.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 + 1}{2}$

خطوة 8.7

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{3}{2}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{3}{2}$

الصيغة العشرية:

$1.5$

صيغة العدد الذي به كسر:

$1 \frac{1}{2}$