حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 5 \tan^{5} (x) \sec^{4} (x) d x$

خطوة 1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) \sec^{4} (x) d x$

خطوة 2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $4$ في صورة $2$ زائد $2$

$5 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

خطوة 2.2

أعِد كتابة ${\sec (x)}^{2 + 2}$ بالصيغة $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

خطوة 3

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sec^{2} (x)$ بحيث تصبح $1 + \tan^{2} (x)$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = \tan (x)$ . إذن $d u = \sec^{2} (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = \tan (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

خطوة 4.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

خطوة 4.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 4.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{3})$

خطوة 4.5

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{3})$ هي $\sqrt{3}$ .

$u_{upper} = \sqrt{3}$

خطوة 4.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{3}$

خطوة 4.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} (1 + u^{2}) d u$

خطوة 5

اضرب $u^{5} (1 + u^{2})$ .

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} \cdot 1 + u^{5} u^{2} d u$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $u^{5}$ في $1$ .

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

خطوة 6.2

اضرب $u^{5}$ في $u^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5 + 2} d u$

خطوة 6.2.2

أضف $5$ و $2$ .

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{7} d u$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$5 (\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} d u + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{5}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$5 (\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u)$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{6}$ و $u^{6}$ .

$5 (\frac{u^{6}}{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{7}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$5 (\frac{u^{6}}{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}})$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{u^{6}}{6}]_{0}^{\sqrt{3}}$ و $\frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$ .

$5 (\frac{u^{6}}{6} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}})$

خطوة 11.2

اجمع $\frac{1}{8}$ و $u^{8}$ .

$5 (\frac{u^{6}}{6} + \frac{u^{8}}{8}]_{0}^{\sqrt{3}})$

خطوة 12

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

احسِب قيمة $\frac{u^{6}}{6} + \frac{u^{8}}{8}$ في $\sqrt{3}$ وفي $0$ .

$5 ((\frac{{\sqrt{3}}^{6}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8}) - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{6}$ بالصيغة $3^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{6}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 6}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$5 (\frac{3^{\frac{6}{2}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 3}{2}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$5 (\frac{3^{\frac{3}{1}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.1.4.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$5 (\frac{3^{3}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$5 (\frac{27}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $27$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.1

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$5 (\frac{3 (9)}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$5 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$5 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$5 (\frac{9}{2} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.4

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{8}$ بالصيغة $3^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $8$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{8}{2}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.4.4

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{2 \cdot 4}{2}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.4.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{4}{1}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.4.4.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{4}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.5

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.6

لكتابة $\frac{9}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.7

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $8$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.7.1

اضرب $\frac{9}{2}$ في $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{9 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.7.2

اضرب $2$ في $4$ .

$5 (\frac{9 \cdot 4}{8} + \frac{81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$5 (\frac{9 \cdot 4 + 81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.9.1

اضرب $9$ في $4$ .

$5 (\frac{36 + 81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.9.2

أضف $36$ و $81$ .

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.10

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{0}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.11

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.11.1

أخرِج العامل $6$ من $0$ .

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{6 (0)}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.11.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6$ .

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{0}{1} + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.11.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{0^{8}}{8}))$

خطوة 12.2.12

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{0}{8}))$

خطوة 12.2.13

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.13.1

أخرِج العامل $8$ من $0$ .

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{8 (0)}{8}))$

خطوة 12.2.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.13.2.1

أخرِج العامل $8$ من $8$ .

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}))$

خطوة 12.2.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}))$

خطوة 12.2.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{0}{1}))$

خطوة 12.2.13.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$5 (\frac{117}{8} - (0 + 0))$

خطوة 12.2.14

أضف $0$ و $0$ .

$5 (\frac{117}{8} - 0)$

خطوة 12.2.15

اضرب $- 1$ في $0$ .

$5 (\frac{117}{8} + 0)$

خطوة 12.2.16

أضف $\frac{117}{8}$ و $0$ .

$5 (\frac{117}{8})$

خطوة 12.2.17

اجمع $5$ و $\frac{117}{8}$ .

$\frac{5 \cdot 117}{8}$

خطوة 12.2.18

اضرب $5$ في $117$ .

$\frac{585}{8}$

خطوة 13

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{585}{8}$

الصيغة العشرية:

$73.125$

صيغة العدد الذي به كسر:

$73 \frac{1}{8}$