حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

خطوة 2

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (x)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

خطوة 3

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (x)$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ في $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{2 \cdot 2} d x$

خطوة 4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{4} d x$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x)$

خطوة 6

اجمع $\frac{1}{4}$ و $3$ .

$\frac{3}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

خطوة 7

لنفترض أن $u_{1} = 2 x$ . إذن $d u_{1} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u_{1} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 7.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 7.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 7.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 7.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 7.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

خطوة 7.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

خطوة 7.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = π$

خطوة 7.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

خطوة 7.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{3}{4} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

خطوة 9

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 4} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

خطوة 9.1.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

خطوة 9.2

وسّع $(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

خطوة 9.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

خطوة 9.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 9.2.4

انقُل $\cos (u_{1})$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 9.2.5

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 9.2.6

اضرب $\cos (u_{1})$ في $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 9.2.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 9.2.8

أخرِج السالب.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

خطوة 9.2.9

ارفع $\cos (u_{1})$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

خطوة 9.2.10

ارفع $\cos (u_{1})$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

خطوة 9.2.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

خطوة 9.2.12

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 9.2.13

اطرح $\cos (u_{1})$ من $\cos (u_{1})$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 9.2.14

اطرح $\cos^{2} (u_{1})$ من $0$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 10

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{3}{8} (\int_{0}^{π} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

خطوة 11

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

خطوة 12

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

خطوة 13

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

خطوة 14

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

خطوة 15

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (\int_{0}^{π} d u_{1} + \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

خطوة 16

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

خطوة 17

لنفترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . إذن $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

افترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.1

أوجِد مشتقة $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

خطوة 17.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $2 u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 17.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 17.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 17.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $u_{1}$ في $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 17.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 17.4

عوّض بالنهاية العليا عن $u_{1}$ في $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 π$

خطوة 17.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

خطوة 17.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

خطوة 18

اجمع $\cos (u_{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

خطوة 19

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) d u_{2}))$

خطوة 20

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}))$

خطوة 21

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1

احسِب قيمة $u_{1}$ في $π$ وفي $0$ .

$\frac{3}{8} ((π) + 0 - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}))$

خطوة 21.2

احسِب قيمة $u_{1}$ في $π$ وفي $0$ .

$\frac{3}{8} (π + 0 - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}))$

خطوة 21.3

احسِب قيمة $\sin (u_{2})$ في $2 π$ وفي $0$ .

$\frac{3}{8} (π + 0 - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))))$

خطوة 21.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.4.1

أضف $π$ و $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))))$

خطوة 21.4.2

أضف $π$ و $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))))$

خطوة 22

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)))$

خطوة 22.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)))$

خطوة 22.3

أضف $\sin (2 π)$ و $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} \sin (2 π)))$

خطوة 22.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (2 π)$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (2 π)}{2}))$

خطوة 23

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1.1.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (0)}{2}))$

خطوة 23.1.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{0}{2}))$

خطوة 23.1.2

اقسِم $0$ على $2$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + 0))$

خطوة 23.2

أضف $π$ و $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} π)$

خطوة 23.3

اجمع $π$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{π}{2})$

خطوة 23.4

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{8} (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 23.5

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{8} (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 23.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3}{8} \cdot \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 23.7

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$\frac{3}{8} \cdot \frac{2 \cdot π - π}{2}$

خطوة 23.8

اطرح $π$ من $2 π$ .

$\frac{3}{8} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 23.9

اضرب $\frac{3}{8} \cdot \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.9.1

اضرب $\frac{3}{8}$ في $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3 π}{8 \cdot 2}$

خطوة 23.9.2

اضرب $8$ في $2$ .

$\frac{3 π}{16}$

خطوة 24

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{3 π}{16}$

الصيغة العشرية:

$0.58904862 \dots$