حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 t)}{6 - \cos (2 t)} d t$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2 t)}{6 - \cos (2 t)} d t$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ . إذن $d u_{2} = 2 \sin (2 t) d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 t) d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $6 - \cos (2 t)$ .

$\frac{d}{d t} [6 - \cos (2 t)]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 - \cos (2 t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- \cos (2 t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \cos (t)$ و $g (t) = 2 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 t$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t])$

خطوة 2.1.3.2.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$0 - (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t])$

خطوة 2.1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 t$ .

$0 - (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t])$

خطوة 2.1.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t]))$

خطوة 2.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - (- \sin (2 t) (2 \cdot 1))$

خطوة 2.1.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$0 - (- \sin (2 t) \cdot 2)$

خطوة 2.1.3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$0 - (- 2 \sin (2 t))$

خطوة 2.1.3.7

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$0 + 2 \sin (2 t)$

خطوة 2.1.4

أضف $0$ و $2 \sin (2 t)$ .

$2 \sin (2 t)$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ .

$u_{lower} = 6 - \cos (2 \cdot 0)$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 6 - \cos (0)$

خطوة 2.3.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$u_{lower} = 6 - 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{lower} = 6 - 1$

خطوة 2.3.2

اطرح $1$ من $6$ .

$u_{lower} = 5$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ .

$u_{upper} = 6 - \cos (2 \frac{π}{2})$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 6 - \cos (2 \frac{π}{2})$

خطوة 2.5.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = 6 - \cos (π)$

خطوة 2.5.1.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$u_{upper} = 6 - - \cos (0)$

خطوة 2.5.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$u_{upper} = 6 - (- 1 \cdot 1)$

خطوة 2.5.1.4

اضرب $- (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{upper} = 6 - - 1$

خطوة 2.5.1.4.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$u_{upper} = 6 + 1$

خطوة 2.5.2

أضف $6$ و $1$ .

$u_{upper} = 7$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 7$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 5.3

اضرب $\int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ في $1$ .

$\int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 6

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |)]_{5}^{7}$

خطوة 7

احسِب قيمة $\ln (| u_{2} |)$ في $7$ وفي $5$ .

$\ln (| 7 |) - \ln (| 5 |)$

خطوة 8

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 7 |}{| 5 |})$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $7$ تساوي $7$ .

$\ln (\frac{7}{| 5 |})$

خطوة 9.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $5$ تساوي $5$ .

$\ln (\frac{7}{5})$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\ln (\frac{7}{5})$

الصيغة العشرية:

$0.33647223 \dots$