حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} 18 \tan (3 x) d x$

خطوة 1

بما أن $18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $18$ خارج التكامل.

$18 \int_{0}^{\frac{π}{12}} \tan (3 x) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 2.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 2.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

خطوة 2.3

اضرب $3$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{12}$

خطوة 2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (4)}$

خطوة 2.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 4}$

خطوة 2.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$18 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) \frac{1}{3} d u$

خطوة 3

اجمع $\tan (u)$ و $\frac{1}{3}$ .

$18 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan (u)}{3} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$18 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $18$ .

$\frac{18}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

خطوة 5.2

احذِف العامل المشترك لـ $18$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $18$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

خطوة 5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

خطوة 5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{6}{1} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

خطوة 5.2.2.4

اقسِم $6$ على $1$ .

$6 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

خطوة 6

تكامل $\tan (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| \sec (u) |)$ .

$6 (\ln (| \sec (u) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

خطوة 7

احسِب قيمة $\ln (| \sec (u) |)$ في $\frac{π}{4}$ وفي $0$ .

$6 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

القيمة الدقيقة لـ $\sec (\frac{π}{4})$ هي $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$6 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \sec (0) |))$

خطوة 8.2

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$6 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8.3

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اضرب $\frac{2}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})$

خطوة 9.1.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اضرب $\frac{2}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |}{| 1 |})$

خطوة 9.1.2.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |}{| 1 |})$

خطوة 9.1.2.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |}{| 1 |})$

خطوة 9.1.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |}{| 1 |})$

خطوة 9.1.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |}{| 1 |})$

خطوة 9.1.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |}{| 1 |})$

خطوة 9.1.2.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |}{| 1 |})$

خطوة 9.1.2.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})$

خطوة 9.1.2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})$

خطوة 9.1.2.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |}{| 1 |})$

خطوة 9.1.2.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})$

خطوة 9.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})$

خطوة 9.1.3.2

اقسِم $\sqrt{2}$ على $1$ .

$6 \ln (\frac{| \sqrt{2} |}{| 1 |})$

خطوة 9.1.4

$\sqrt{2}$ تساوي تقريبًا $1.41421356$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$6 \ln (\frac{\sqrt{2}}{| 1 |})$

خطوة 9.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$6 \ln (\frac{\sqrt{2}}{1})$

خطوة 9.3

اقسِم $\sqrt{2}$ على $1$ .

$6 \ln (\sqrt{2})$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$6 \ln (\sqrt{2})$

الصيغة العشرية:

$2.07944154 \dots$