حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{y}{\sqrt{5 - y}} d y$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 5 - y$ . إذن $d u = - d y$ ، لذا $- d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 5 - y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $5 - y$ .

$\frac{d}{d y} [5 - y]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 - y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 - 1$

خطوة 1.1.4

اطرح $1$ من $0$ .

$- 1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{- (- u + 5)}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int - \frac{- u + 5}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{- u + 5}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int \frac{- u + 5}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \int (- u + 5) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int (- u + 5) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$- \int (- u + 5) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \int (- u + 5) u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وسّع $(- u + 5) u^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \int - u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.2

أخرِج السالب.

$- \int - (u \cdot u^{- \frac{1}{2}}) + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.3

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$- \int - (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \int - u^{1 - \frac{1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \int - u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \int - u^{\frac{2 - 1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.7

اطرح $1$ من $2$ .

$- \int - u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.8

أعِد ترتيب $- u^{\frac{1}{2}}$ و $5 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \int 5 u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- (\int 5 u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

خطوة 7

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$- (5 \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (5 (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- (5 (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (5 (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

خطوة 11

بسّط.

$- (10 u^{\frac{1}{2}} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 - y$ .

$- (10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

لكتابة $10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- (10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

خطوة 13.2

اجمع $10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

خطوة 13.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - 2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

خطوة 13.4

اضرب $3$ في $10$ .

$- \frac{30 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

خطوة 14

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{3} (30 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}) + C$