حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x \sec (x) \tan (x) + 3 x^{2} + \sqrt{x}}{x} d x$

خطوة 1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int \frac{x \sec (x) \tan (x)}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{x \sec (x) \tan (x)}{x} d x + \int \frac{3 x^{2}}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{x \sec (x) \tan (x)}{x} d x + \int \frac{3 x^{2}}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

خطوة 3.1.2

اقسِم $\sec (x) \tan (x)$ على $1$ .

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int \frac{3 x^{2}}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

خطوة 3.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $3 x^{2}$ .

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int \frac{x (3 x)}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

خطوة 3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int \frac{x (3 x)}{x^{1}} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

خطوة 3.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int \frac{x (3 x)}{x \cdot 1} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

خطوة 3.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int \frac{x (3 x)}{x \cdot 1} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

خطوة 3.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int \frac{3 x}{1} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

خطوة 3.2.2.5

اقسِم $3 x$ على $1$ .

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int 3 x d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

خطوة 4

بما أن مشتق $\sec (x)$ هو $\sec (x) \tan (x)$ ، إذن تكامل $\sec (x) \tan (x)$ هو $\sec (x)$ .

$\sec (x) + C + \int 3 x d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

خطوة 5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\sec (x) + C + 3 \int x d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

خطوة 7.2.2

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

خطوة 7.2.3

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

خطوة 7.2.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

خطوة 7.2.3.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

خطوة 7.2.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

خطوة 7.2.3.4

اطرح $1$ من $2$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 7.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 7.3.2

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 7.3.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

خطوة 7.3.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

$\sec (x) + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\sec (x) + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$