حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{3 \sqrt{3}}{2}} \frac{x^{3}}{\sqrt{4 x^{2} + 9}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = \frac{3}{2} \tan (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ موجبة.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2} + 9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 {(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{2} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3 \tan (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{{(3 \tan (t))}^{2}}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $3 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{3^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 \tan^{2} (t) + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $9$ من $9 \tan^{2} (t) + 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أخرِج العامل $9$ من $9 \tan^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.2.2

أخرِج العامل $9$ من $9$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.2.3

أخرِج العامل $9$ من $9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.3

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.4

أعِد كتابة $9 \sec^{2} (t)$ بالصيغة ${(3 \sec (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{3}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3 \tan (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{{(3 \tan (t))}^{3}}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $3 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{3^{3} \tan^{3} (t)}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.2.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}}{3 \sec (t)}$ في صورة حاصل ضرب.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{8} \cdot \frac{1}{3 \sec (t)} \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.2.3.4

اضرب $\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}$ في $\frac{1}{3 \sec (t)}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{8 (3 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.2.3.5

اضرب $3$ في $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{24 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.2.3.6

احذِف العامل المشترك لـ $27$ و $24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.6.1

أخرِج العامل $3$ من $27 \tan^{3} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{24 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.2.3.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $24 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{3 (8 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.2.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{3 (8 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.2.3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{9 \tan^{3} (t)}{8 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.2.3.7

اضرب $\frac{9 \tan^{3} (t)}{8 \sec (t)}$ في $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{9 \tan^{3} (t) (3 \sec^{2} (t))}{8 \sec (t) \cdot 2} d t$

خطوة 2.2.2.3.8

اضرب $3$ في $9$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)}{8 \sec (t) \cdot 2} d t$

خطوة 2.2.2.3.9

اضرب $2$ في $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)}{16 \sec (t)} d t$

خطوة 2.2.2.3.10

احذِف العامل المشترك لـ $\sec^{2} (t)$ و $\sec (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.10.1

أخرِج العامل $\sec (t)$ من $27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{16 \sec (t)} d t$

خطوة 2.2.2.3.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.10.2.1

أخرِج العامل $\sec (t)$ من $16 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{\sec (t) \cdot 16} d t$

خطوة 2.2.2.3.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{\sec (t) \cdot 16} d t$

خطوة 2.2.2.3.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec (t)}{16} d t$

خطوة 3

بما أن $\frac{27}{16}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{27}{16}$ خارج التكامل.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

خطوة 4

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

خطوة 5

أخرِج عامل $\tan^{2} (t)$ .

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

خطوة 6

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (t)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

خطوة 7

بسّط.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

خطوة 8

لنفترض أن $u = \sec (t)$ . إذن $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ ، لذا $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = \sec (t)$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

خطوة 8.1.2

مشتق $\sec (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

خطوة 8.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = \sec (t)$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

خطوة 8.3

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 8.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = \sec (t)$ .

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{3})$

خطوة 8.5

القيمة الدقيقة لـ $\sec (\frac{π}{3})$ هي $2$ .

$u_{upper} = 2$

خطوة 8.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

خطوة 8.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{27}{16} \int_{1}^{2} - 1 + u^{2} d u$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{27}{16} (\int_{1}^{2} - 1 d u + \int_{1}^{2} u^{2} d u)$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{27}{16} (- u]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} u^{2} d u)$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{27}{16} (- u]_{1}^{2} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2})$

خطوة 12

اجمع $- u]_{1}^{2}$ و $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$ .

$\frac{27}{16} - u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$

خطوة 13

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

احسِب قيمة $- u + \frac{1}{3} u^{3}$ في $2$ وفي $1$ .

$\frac{27}{16} ((- 1 \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

خطوة 13.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

خطوة 13.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{1}{3} \cdot 8 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

خطوة 13.2.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $8$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

خطوة 13.2.4

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (- 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

خطوة 13.2.5

اجمع $- 2$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

خطوة 13.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{27}{16} (\frac{- 2 \cdot 3 + 8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

خطوة 13.2.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.7.1

اضرب $- 2$ في $3$ .

$\frac{27}{16} (\frac{- 6 + 8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

خطوة 13.2.7.2

أضف $- 6$ و $8$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

خطوة 13.2.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

خطوة 13.2.9

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1))$

خطوة 13.2.10

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

خطوة 13.2.11

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

خطوة 13.2.12

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

خطوة 13.2.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

خطوة 13.2.14

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.14.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

خطوة 13.2.14.2

أضف $- 3$ و $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 2}{3})$

خطوة 13.2.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - - \frac{2}{3})$

خطوة 13.2.16

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

خطوة 13.2.17

اضرب $\frac{2}{3}$ في $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} + \frac{2}{3})$

خطوة 13.2.18

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{27}{16} \cdot \frac{2 + 2}{3}$

خطوة 13.2.19

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{27}{16} \cdot \frac{4}{3}$

خطوة 13.2.20

اضرب $\frac{27}{16}$ في $\frac{4}{3}$ .

$\frac{27 \cdot 4}{16 \cdot 3}$

خطوة 13.2.21

اضرب $27$ في $4$ .

$\frac{108}{16 \cdot 3}$

خطوة 13.2.22

اضرب $16$ في $3$ .

$\frac{108}{48}$

خطوة 13.2.23

احذِف العامل المشترك لـ $108$ و $48$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.23.1

أخرِج العامل $12$ من $108$ .

$\frac{12 (9)}{48}$

خطوة 13.2.23.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.23.2.1

أخرِج العامل $12$ من $48$ .

$\frac{12 \cdot 9}{12 \cdot 4}$

خطوة 13.2.23.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 \cdot 9}{12 \cdot 4}$

خطوة 13.2.23.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9}{4}$

خطوة 14

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{9}{4}$

الصيغة العشرية:

$2.25$

صيغة العدد الذي به كسر:

$2 \frac{1}{4}$

خطوة 15