حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} x \cos (π x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \cos (π x)$ .

$x (\frac{1}{π} \sin (π x))]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{π}$ و $\sin (π x)$ .

$x \frac{\sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

خطوة 2.2

اجمع $x$ و $\frac{\sin (π x)}{π}$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{π}$ خارج التكامل.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sin (π x) d x)$

خطوة 4

لنفترض أن $u = π x$ . إذن $d u = π d x$ ، لذا $\frac{1}{π} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = π x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

خطوة 4.1.2

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$π \cdot 1$

خطوة 4.1.4

اضرب $π$ في $1$ .

$π$

خطوة 4.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

خطوة 4.3

اضرب $π$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 4.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = π x$ .

$u_{upper} = π \frac{1}{2}$

خطوة 4.5

اجمع $π$ و $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

خطوة 4.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

خطوة 4.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) \frac{1}{π} d u$

خطوة 5

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{π}$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (u)}{π} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{π}$ خارج التكامل.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $\frac{1}{π}$ في $\frac{1}{π}$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

خطوة 7.2

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1} π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

خطوة 7.3

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

خطوة 7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1 + 1}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

خطوة 7.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{2}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

خطوة 8

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{2}} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

خطوة 9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة $\frac{x \sin (π x)}{π}$ في $\frac{1}{2}$ وفي $0$ .

$(\frac{\frac{1}{2} \sin (π \frac{1}{2})}{π}) - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

خطوة 9.2

احسِب قيمة $- \cos (u)$ في $\frac{π}{2}$ وفي $0$ .

$(\frac{\frac{1}{2} \sin (π \frac{1}{2})}{π}) - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اجمع $π$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \sin (\frac{π}{2})}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

خطوة 9.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (\frac{π}{2})$ .

$\frac{\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

خطوة 9.3.3

أعِد كتابة $\frac{\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}}{π}$ في صورة حاصل ضرب.

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2} \cdot \frac{1}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

خطوة 9.3.4

اضرب $\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}$ في $\frac{1}{π}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

خطوة 9.3.5

اضرب $π$ في $0$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0 \sin (0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

خطوة 9.3.6

اضرب $0$ في $\sin (0)$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

خطوة 9.3.7

لكتابة $- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 π}{2 π}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2 π}{2 π} - \frac{0}{π}$

خطوة 9.3.8

اجمع $- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ و $\frac{2 π}{2 π}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} + \frac{- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) (2 π)}{2 π} - \frac{0}{π}$

خطوة 9.3.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) (2 π)}{2 π} - \frac{0}{π}$

خطوة 9.3.10

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - 2 \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) π}{2 π} - \frac{0}{π}$

خطوة 9.3.11

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{π^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) π}{2 π} - \frac{0}{π}$

خطوة 9.3.12

اجمع $π$ و $\frac{- 2}{π^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

خطوة 9.3.13

انقُل $- 2$ إلى يسار $π$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2 \cdot π}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

خطوة 9.3.14

احذِف العامل المشترك لـ $π$ و $π^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.14.1

أخرِج العامل $π$ من $- 2 π$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

خطوة 9.3.14.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.14.2.1

أخرِج العامل $π$ من $π^{2}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

خطوة 9.3.14.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

خطوة 9.3.14.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

خطوة 9.3.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \frac{2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

خطوة 10.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- 0 + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

خطوة 10.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- 0 + 1)}{2 π} - \frac{0}{π}$

خطوة 10.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (0 + 1)}{2 π} - \frac{0}{π}$

خطوة 10.5

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} \cdot 1}{2 π} - \frac{0}{π}$

خطوة 10.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0}{π}$

خطوة 10.7

لكتابة $- \frac{0}{π}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0}{π} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 10.8

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $2 π$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.8.1

اضرب $\frac{0}{π}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0 \cdot 2}{π \cdot 2}$

خطوة 10.8.2

أعِد ترتيب عوامل $π \cdot 2$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0 \cdot 2}{2 π}$

خطوة 10.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1 - \frac{2}{π} + 0 \cdot 2}{2 π}$

خطوة 10.10

اضرب $0$ في $2$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} + 0}{2 π}$

خطوة 10.11

أضف $1 - \frac{2}{π}$ و $0$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π}$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{\frac{π}{π} - \frac{2}{π}}{2 π}$

خطوة 11.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{π - 2}{π}}{2 π}$

خطوة 11.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{π - 2}{π} \cdot \frac{1}{2 π}$

خطوة 11.3

اضرب $\frac{π - 2}{π} \cdot \frac{1}{2 π}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اضرب $\frac{π - 2}{π}$ في $\frac{1}{2 π}$ .

$\frac{π - 2}{π (2 π)}$

خطوة 11.3.2

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$\frac{π - 2}{2 (π^{1} π)}$

خطوة 11.3.3

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$\frac{π - 2}{2 (π^{1} π^{1})}$

خطوة 11.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{π - 2}{2 π^{1 + 1}}$

خطوة 11.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{π - 2}{2 π^{2}}$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{π - 2}{2 π^{2}}$

الصيغة العشرية:

$0.05783375 \dots$