حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\cos (4 x)}{4} + \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\cos (4 x)}{4} d x + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

خطوة 2

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \cos (4 x) d x + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{1} = 4 x$ . إذن $d u_{1} = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{1} = 4 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 3.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 3.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{1} = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

خطوة 3.3

اضرب $4$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{1} = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{16}$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 (4)}$

خطوة 3.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 \cdot 4}$

خطوة 3.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

خطوة 3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

خطوة 3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

خطوة 4

اجمع $\cos (u_{1})$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \frac{\cos (u_{1})}{4} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

خطوة 6.2

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{1}{16} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

خطوة 7

تكامل $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \sin (4 x) d x$

خطوة 9

لنفترض أن $u_{2} = 4 x$ . إذن $d u_{2} = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u_{2} = 4 x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 9.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 9.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 9.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

خطوة 9.3

اضرب $4$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 9.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{16}$

خطوة 9.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 (4)}$

خطوة 9.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 \cdot 4}$

خطوة 9.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

خطوة 9.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

خطوة 9.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

خطوة 10

اجمع $\sin (u_{2})$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

خطوة 11

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 12.2

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{16} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 13

تكامل $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{16} - \cos (u_{2})]_{0}^{\frac{3 π}{4}}$

خطوة 14

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

احسِب قيمة $\sin (u_{1})$ في $\frac{3 π}{4}$ وفي $0$ .

$\frac{1}{16} ((\sin (\frac{3 π}{4})) - \sin (0)) + \frac{1}{16} - \cos (u_{2})]_{0}^{\frac{3 π}{4}}$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $- \cos (u_{2})$ في $\frac{3 π}{4}$ وفي $0$ .

$\frac{1}{16} ((\sin (\frac{3 π}{4})) - \sin (0)) + \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{3 π}{4})) + \cos (0))$

خطوة 14.3

احذِف الأقواس.

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - \sin (0)) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (0))$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (0))$

خطوة 15.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

خطوة 15.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) + 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

خطوة 15.4

أضف $\sin (\frac{3 π}{4})$ و $0$ .

$\frac{1}{16} \sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

خطوة 15.5

اجمع $\frac{1}{16}$ و $\sin (\frac{3 π}{4})$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

خطوة 15.6

لكتابة $\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{16}{16}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot \frac{16}{16}$

خطوة 15.7

اجمع $\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$ و $\frac{16}{16}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot 16}{16}$

خطوة 15.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot 16}{16}$

خطوة 15.9

اجمع $16$ و $\frac{1}{16}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{16}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

خطوة 15.10

ألغِ العامل المشترك لـ $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.10.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{16}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

خطوة 15.10.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + 1 (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

خطوة 15.11

اضرب $- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1$ في $1$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4}) + 1}{16}$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - - \cos (\frac{π}{4}) + 1}{16}$

خطوة 16.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

خطوة 16.3

اضرب $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + 1 \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

خطوة 16.3.2

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $1$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

خطوة 16.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.4.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

خطوة 16.4.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

خطوة 16.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

خطوة 16.4.4

أضف $\sqrt{2}$ و $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

خطوة 16.4.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.4.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

خطوة 16.4.5.2

اقسِم $\sqrt{2}$ على $1$ .

$\frac{\sqrt{2} + 1}{16}$

خطوة 17

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{\sqrt{2} + 1}{16}$

الصيغة العشرية:

$0.15088834 \dots$