حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 3 x e^{- 9 x} d x$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int x e^{- 9 x} d x$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- 9 x}$ .

$3 (x (- \frac{1}{9} e^{- 9 x}) - \int - \frac{1}{9} e^{- 9 x} d x)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $e^{- 9 x}$ و $\frac{1}{9}$ .

$3 (x (- \frac{e^{- 9 x}}{9}) - \int - \frac{1}{9} e^{- 9 x} d x)$

خطوة 3.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{- 9 x}}{9}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \int - \frac{1}{9} e^{- 9 x} d x)$

خطوة 3.3

اجمع $e^{- 9 x}$ و $\frac{1}{9}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \int - \frac{e^{- 9 x}}{9} d x)$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - - \int \frac{e^{- 9 x}}{9} d x)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + 1 \int \frac{e^{- 9 x}}{9} d x)$

خطوة 5.2

اضرب $\int \frac{e^{- 9 x}}{9} d x$ في $1$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \int \frac{e^{- 9 x}}{9} d x)$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{9}$ خارج التكامل.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} \int e^{- 9 x} d x)$

خطوة 7

لنفترض أن $u = - 9 x$ . إذن $d u = - 9 d x$ ، لذا $- \frac{1}{9} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = - 9 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$

خطوة 7.1.2

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 9 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 9 \cdot 1$

خطوة 7.1.4

اضرب $- 9$ في $1$ .

$- 9$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} \int e^{u} \frac{1}{- 9} d u)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} \int e^{u} (- \frac{1}{9}) d u)$

خطوة 8.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{9}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} \int - \frac{e^{u}}{9} d u)$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} (- \int \frac{e^{u}}{9} d u))$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{9}$ خارج التكامل.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} (- (\frac{1}{9} \int e^{u} d u)))$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب $\frac{1}{9}$ في $\frac{1}{9}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \frac{1}{9 \cdot 9} \int e^{u} d u)$

خطوة 11.2

اضرب $9$ في $9$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \frac{1}{81} \int e^{u} d u)$

خطوة 12

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \frac{1}{81} (e^{u} + C))$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أعِد كتابة $3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \frac{1}{81} (e^{u} + C))$ بالصيغة $3 (- \frac{1}{9} x e^{- 9 x} - \frac{1}{81} e^{u}) + C$ .

$3 (- \frac{1}{9} x e^{- 9 x} - \frac{1}{81} e^{u}) + C$

خطوة 13.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{9}$ .

$3 (- \frac{x}{9} e^{- 9 x} - \frac{1}{81} e^{u}) + C$

خطوة 13.2.2

اجمع $e^{- 9 x}$ و $\frac{x}{9}$ .

$3 (- \frac{e^{- 9 x} x}{9} - \frac{1}{81} e^{u}) + C$

خطوة 13.2.3

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{81}$ .

$3 (- \frac{e^{- 9 x} x}{9} - \frac{e^{u}}{81}) + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 9 x$ .

$3 (- \frac{e^{- 9 x} x}{9} - \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (- \frac{e^{- 9 x} x}{9}) + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

خطوة 15.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{- 9 x} x}{9}$ إلى بسط الكسر.

$3 \frac{- e^{- 9 x} x}{9} + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

خطوة 15.2.2

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$3 \frac{- e^{- 9 x} x}{3 (3)} + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

خطوة 15.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{- e^{- 9 x} x}{3 \cdot 3} + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

خطوة 15.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

خطوة 15.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{- 9 x}}{81}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + 3 \frac{- e^{- 9 x}}{81} + C$

خطوة 15.3.2

أخرِج العامل $3$ من $81$ .

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + 3 \frac{- e^{- 9 x}}{3 (27)} + C$

خطوة 15.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + 3 \frac{- e^{- 9 x}}{3 \cdot 27} + C$

خطوة 15.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + \frac{- e^{- 9 x}}{27} + C$

خطوة 15.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{e^{- 9 x} x}{3} + \frac{- e^{- 9 x}}{27} + C$

خطوة 15.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{e^{- 9 x} x}{3} - \frac{e^{- 9 x}}{27} + C$

خطوة 15.5

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{e^{- 9 x} x}{3} - \frac{e^{- 9 x}}{27}$ .

$- \frac{x e^{- 9 x}}{3} - \frac{e^{- 9 x}}{27} + C$

خطوة 16

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{3} x e^{- 9 x} - \frac{1}{27} e^{- 9 x} + C$