حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 2 \sec^{4} (y) d y$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \sec^{4} (y) d y$

خطوة 2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $4$ في صورة $2$ زائد $2$

$2 \int {\sec (y)}^{2 + 2} d y$

خطوة 2.2

أعِد كتابة ${\sec (y)}^{2 + 2}$ بالصيغة $\sec^{2} (y) \sec^{2} (y)$ .

$2 \int \sec^{2} (y) \sec^{2} (y) d y$

خطوة 3

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sec^{2} (y)$ بحيث تصبح $1 + \tan^{2} (y)$ .

$2 \int (1 + \tan^{2} (y)) \sec^{2} (y) d y$

خطوة 4

لنفترض أن $u = \tan (y)$ . إذن $d u = \sec^{2} (y) d y$ ، لذا $\frac{1}{\sec^{2} (y)} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = \tan (y)$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\tan (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\tan (y)]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\tan (y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\sec^{2} (y)$ .

$\sec^{2} (y)$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 \int 1 + u^{2} d u$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$2 (\int d u + \int u^{2} d u)$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$2 (u + C + \int u^{2} d u)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$2 (u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

خطوة 8.2

بسّط.

$2 (u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\tan (y)$ .

$2 (\tan (y) + \frac{1}{3} \tan^{3} (y)) + C$