حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{2}^{5} \frac{6}{{(3 x + 1)}^{3}} d x$

خطوة 1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int_{2}^{5} \frac{1}{{(3 x + 1)}^{3}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 3 x + 1$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 3 x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 2.1.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 2 + 1$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$u_{lower} = 6 + 1$

خطوة 2.3.2

أضف $6$ و $1$ .

$u_{lower} = 7$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 5 + 1$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $3$ في $5$ .

$u_{upper} = 15 + 1$

خطوة 2.5.2

أضف $15$ و $1$ .

$u_{upper} = 16$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 7$

$u_{upper} = 16$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$6 \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{1}{u^{3}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$6 \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3} \cdot 3} d u$

خطوة 3.2

انقُل $3$ إلى يسار $u^{3}$ .

$6 \int_{7}^{16} \frac{1}{3 u^{3}} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$6 (\frac{1}{3} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u)$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $6$ .

$\frac{6}{3} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

خطوة 5.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

خطوة 5.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

خطوة 5.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

خطوة 5.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{1} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

خطوة 5.1.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

خطوة 5.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

انقُل $u^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$2 \int_{7}^{16} {(u^{3})}^{- 1} d u$

خطوة 5.2.2

اضرب الأُسس في ${(u^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{7}^{16} u^{3 \cdot - 1} d u$

خطوة 5.2.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$2 \int_{7}^{16} u^{- 3} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{7}^{16})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $u^{- 2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{7}^{16})$

خطوة 7.2

انقُل $u^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{7}^{16})$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $- \frac{1}{2 u^{2}}$ في $16$ وفي $7$ .

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 16^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 7^{2}})$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ارفع $16$ إلى القوة $2$ .

$2 (- \frac{1}{2 \cdot 256} + \frac{1}{2 \cdot 7^{2}})$

خطوة 8.2.2

اضرب $2$ في $256$ .

$2 (- \frac{1}{512} + \frac{1}{2 \cdot 7^{2}})$

خطوة 8.2.3

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$2 (- \frac{1}{512} + \frac{1}{2 \cdot 49})$

خطوة 8.2.4

اضرب $2$ في $49$ .

$2 (- \frac{1}{512} + \frac{1}{98})$

خطوة 8.2.5

لكتابة $- \frac{1}{512}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{1}{512} \cdot \frac{49}{49} + \frac{1}{98})$

خطوة 8.2.6

لكتابة $\frac{1}{98}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{256}{256}$ .

$2 (- \frac{1}{512} \cdot \frac{49}{49} + \frac{1}{98} \cdot \frac{256}{256})$

خطوة 8.2.7

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $25088$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.7.1

اضرب $\frac{1}{512}$ في $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{49}{512 \cdot 49} + \frac{1}{98} \cdot \frac{256}{256})$

خطوة 8.2.7.2

اضرب $512$ في $49$ .

$2 (- \frac{49}{25088} + \frac{1}{98} \cdot \frac{256}{256})$

خطوة 8.2.7.3

اضرب $\frac{1}{98}$ في $\frac{256}{256}$ .

$2 (- \frac{49}{25088} + \frac{256}{98 \cdot 256})$

خطوة 8.2.7.4

اضرب $98$ في $256$ .

$2 (- \frac{49}{25088} + \frac{256}{25088})$

خطوة 8.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \frac{- 49 + 256}{25088}$

خطوة 8.2.9

أضف $- 49$ و $256$ .

$2 (\frac{207}{25088})$

خطوة 8.2.10

اجمع $2$ و $\frac{207}{25088}$ .

$\frac{2 \cdot 207}{25088}$

خطوة 8.2.11

اضرب $2$ في $207$ .

$\frac{414}{25088}$

خطوة 8.2.12

احذِف العامل المشترك لـ $414$ و $25088$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.12.1

أخرِج العامل $2$ من $414$ .

$\frac{2 (207)}{25088}$

خطوة 8.2.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.12.2.1

أخرِج العامل $2$ من $25088$ .

$\frac{2 \cdot 207}{2 \cdot 12544}$

خطوة 8.2.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 207}{2 \cdot 12544}$

خطوة 8.2.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{207}{12544}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{207}{12544}$

الصيغة العشرية:

$0.01650191 \dots$

خطوة 10