حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- 8}^{8} 8 x^{3} e^{- x^{4}} d x$

خطوة 1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$8 \int_{- 8}^{8} x^{3} e^{- x^{4}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{1} = x^{2}$ . إذن $d u_{1} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{1} = x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = {(- 8)}^{2}$

خطوة 2.3

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$u_{lower} = 64$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 8^{2}$

خطوة 2.5

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = 64$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 64$

$u_{upper} = 64$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ بالصيغة ${u_{1}}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$8 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u_{1}$ .

$8 \int_{64}^{64} \frac{u_{1}}{2} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{u_{1}}{2}$ و $e^{- {u_{1}}^{2}}$ .

$8 \int_{64}^{64} \frac{u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$8 (\frac{1}{2} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $8$ .

$\frac{8}{2} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 5.2

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{1} \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 5.2.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$4 \int_{64}^{64} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 6

لنفترض أن $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . إذن $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $- {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

خطوة 6.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $- {u_{1}}^{2}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- (2 u_{1})$

خطوة 6.1.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 u_{1}$

خطوة 6.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $u_{1}$ في $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = - 64^{2}$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

ارفع $64$ إلى القوة $2$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 4096$

خطوة 6.3.2

اضرب $- 1$ في $4096$ .

$u_{lower} = - 4096$

خطوة 6.4

عوّض بالنهاية العليا عن $u_{1}$ في $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = - 64^{2}$

خطوة 6.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

ارفع $64$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 4096$

خطوة 6.5.2

اضرب $- 1$ في $4096$ .

$u_{upper} = - 4096$

خطوة 6.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 4096$

$u_{upper} = - 4096$

خطوة 6.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$4 \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

خطوة 7.2

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$4 \int_{- 4096}^{- 4096} - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$4 (- \int_{- 4096}^{- 4096} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

خطوة 9

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- 4 \int_{- 4096}^{- 4096} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- 4 (\frac{1}{2} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 4$ .

$\frac{- 4}{2} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 11.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 11.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 11.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 11.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2}{1} \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 11.2.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$- 2 \int_{- 4096}^{- 4096} e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 12

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$- 2 (e^{u_{2}}]_{- 4096}^{- 4096})$

خطوة 13

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

احسِب قيمة $e^{u_{2}}$ في $- 4096$ وفي $- 4096$ .

$- 2 ((e^{- 4096}) - e^{- 4096})$

خطوة 13.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اطرح $e^{- 4096}$ من $e^{- 4096}$ .

$- 2 \cdot 0$

خطوة 13.2.2

اضرب $- 2$ في $0$ .

$0$

خطوة 14